Упр.18.27 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) 5sin^2 x — 14sin x * cos x — 3cos^2 x = 2;
б) 3sin^2 x — sin x * cos x = 2;
в) 2cos^2 x — sin x * cos x + 5sin^2 x = 3;
г) 4sin^2 x — 2sin x * cos x = 3.

Во всех пунктах используем тождество $$\sin^2 x+\cos^2 x=1$$ и делим на $$\cos^2 x$$, где это возможно. Тогда получаем уравнения относительно $$\tg x$$.

1. $$5\sin^2 x-14\sin x\cos x-3\cos^2 x=2$$

   $$5\sin^2 x-14\sin x\cos x-3\cos^2 x-2=0$$

   $$5\sin^2 x-14\sin x\cos x-5\cos^2 x=0$$

   $$\frac{5\sin^2 x}{\cos^2 x}-\frac{14\sin x\cos x}{\cos^2 x}-\frac{5\cos^2 x}{\cos^2 x}=0$$

   $$5\tg^2 x-14\tg x-5=0$$

   Пусть $$t=\tg x$$. Тогда

   $$5t^2-14t-5=0$$

   $$D=(-14)^2-4\cdot 5\cdot(-5)=196+100=296$$

   $$t_{1,2}=\frac{14\pm\sqrt{296}}{10}=\frac{14\pm 2\sqrt{74}}{10}=\frac{7\pm\sqrt{74}}{5}$$

   Следовательно,

   $$\tg x=\frac{7+\sqrt{74}}{5} \quad \text{или} \quad \tg x=\frac{7-\sqrt{74}}{5}.$$

2. $$3\sin^2 x-\sin x\cos x=2$$

   $$3\sin^2 x-\sin x\cos x-2=0$$

   $$3\sin^2 x-\sin x\cos x-2(\sin^2 x+\cos^2 x)=0$$

   $$\sin^2 x-\sin x\cos x-2\cos^2 x=0$$

   $$\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}-\frac{\sin x\cos x}{\cos^2 x}-\frac{2\cos^2 x}{\cos^2 x}=0$$

   $$\tg^2 x-\tg x-2=0$$

   Пусть $$t=\tg x$$. Тогда

   $$t^2-t-2=0$$

   $$D=(-1)^2-4\cdot 1\cdot(-2)=9$$

   $$t_{1,2}=\frac{1\pm 3}{2}$$

   $$t_1=2,\quad t_2=-1$$

   Значит,

   $$\tg x=2 \quad \text{или} \quad \tg x=-1.$$

3. $$2\cos^2 x-\sin x\cos x+5\sin^2 x=3$$

   $$2\cos^2 x-\sin x\cos x+5\sin^2 x-3=0$$

   $$2\cos^2 x-\sin x\cos x+5\sin^2 x-3(\sin^2 x+\cos^2 x)=0$$

   $$2\sin^2 x-\sin x\cos x-\cos^2 x=0$$

   $$\frac{2\sin^2 x}{\cos^2 x}-\frac{\sin x\cos x}{\cos^2 x}-\frac{\cos^2 x}{\cos^2 x}=0$$

   $$2\tg^2 x-\tg x-1=0$$

   Пусть $$t=\tg x$$. Тогда

   $$2t^2-t-1=0$$

   $$D=(-1)^2-4\cdot 2\cdot(-1)=9$$

   $$t_{1,2}=\frac{1\pm 3}{4}$$

   $$t_1=1,\quad t_2=-\frac12$$

   Следовательно,

   $$\tg x=1 \quad \text{или} \quad \tg x=-\frac12.$$

4. $$4\sin^2 x-2\sin x\cos x=3$$

   $$4\sin^2 x-2\sin x\cos x-3=0$$

   $$4\sin^2 x-2\sin x\cos x-3(\sin^2 x+\cos^2 x)=0$$

   $$\sin^2 x-2\sin x\cos x-3\cos^2 x=0$$

   $$\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}-\frac{2\sin x\cos x}{\cos^2 x}-\frac{3\cos^2 x}{\cos^2 x}=0$$

   $$\tg^2 x-2\tg x-3=0$$

   Пусть $$t=\tg x$$. Тогда

   $$t^2-2t-3=0$$

   $$D=(-2)^2-4\cdot 1\cdot(-3)=16$$

   $$t_{1,2}=\frac{2\pm 4}{2}$$

   $$t_1=3,\quad t_2=-1$$

   Значит,

   $$\tg x=3 \quad \text{или} \quad \tg x=-1.$$

Ответ

а) $$x=\arctg\frac{7+\sqrt{74}}{5}+\pi n,\; x=\arctg\frac{7-\sqrt{74}}{5}+\pi n,\; n\in\mathbb Z$$
б) $$x=\arctg 2+\pi n,\; x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\; n\in\mathbb Z$$
в) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\; x=-\arctg\frac12+\pi n,\; n\in\mathbb Z$$
г) $$x=\arctg 3+\pi n,\; x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\; n\in\mathbb Z$$