Упр.18.21 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

a) tg x — 2ctg x + 1 = 0;
6) (tg x + 5)/2 = 1/(cos^2 x);
РІ) 2ctg x — 3tg x + 5 = 0;
Рі) (7 — ctg x)/4 = 1/(sin^2 x).

1. $$\tg x-2\ctg x+1=0$$
   
   Пусть $$y=\tg x$$, тогда $$\ctg x=\frac{1}{y}$$:
   $$y-\frac{2}{y}+1=0$$
   $$y^2+y-2=0$$
   $$D=1+8=9$$
   $$y_{1,2}=\frac{-1\pm 3}{2}$$
   $$y_1=1,\quad y_2=-2$$
   Значит,
   $$\tg x=1 \quad \text{или} \quad \tg x=-2$$
   Отсюда:
   $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n \quad \text{или} \quad x=-\arctg 2+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$
2. $$\frac{\tg x+5}{2}=\frac{1}{\cos^2 x}$$
   
   Используем формулу $$\frac{1}{\cos^2 x}=1+\tg^2 x$$:
   $$\frac{\tg x+5}{2}=1+\tg^2 x$$
   $$\tg x+5=2+2\tg^2 x$$
   $$2\tg^2 x-\tg x-3=0$$
   Пусть $$y=\tg x$$:
   $$2y^2-y-3=0$$
   $$D=1+24=25$$
   $$y_{1,2}=\frac{1\pm 5}{4}$$
   $$y_1=\frac{3}{2},\quad y_2=-1$$
   Тогда
   $$\tg x=\frac{3}{2} \quad \text{или} \quad \tg x=-1$$
   Следовательно,
   $$x=\arctg \frac{3}{2}+\pi n \quad \text{или} \quad x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$
3. $$2\ctg x-3\tg x+5=0$$
   
   Пусть $$y=\tg x$$, тогда $$\ctg x=\frac{1}{y}$$:
   $$\frac{2}{y}-3y+5=0$$
   $$2-3y^2+5y=0$$
   $$3y^2-5y-2=0$$
   $$D=25+24=49$$
   $$y_{1,2}=\frac{5\pm 7}{6}$$
   $$y_1=2,\quad y_2=-\frac{1}{3}$$
   Значит,
   $$\tg x=2 \quad \text{или} \quad \tg x=-\frac{1}{3}$$
   Отсюда
   $$x=\arctg 2+\pi n \quad \text{или} \quad x=-\arctg \frac{1}{3}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$
4. $$\frac{7-\ctg x}{4}=\frac{1}{\sin^2 x}$$
   
   Используем формулу $$\frac{1}{\sin^2 x}=1+\ctg^2 x$$:
   $$\frac{7-\ctg x}{4}=1+\ctg^2 x$$
   $$7-\ctg x=4+4\ctg^2 x$$
   $$4\ctg^2 x+\ctg x-3=0$$
   Пусть $$y=\ctg x$$:
   $$4y^2+y-3=0$$
   $$D=1+48=49$$
   $$y_{1,2}=\frac{-1\pm 7}{8}$$
   $$y_1=\frac{3}{4},\quad y_2=-1$$
   Тогда
   $$\ctg x=\frac{3}{4} \quad \text{или} \quad \ctg x=-1$$
   Следовательно,
   $$x=\arctg \frac{4}{3}+\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{3\pi}{4}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=-\arctg 2+\pi n,\ \frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$

б) $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\ \arctg \frac{3}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$

в) $$x=-\arctg \frac{1}{3}+\pi n,\ \arctg 2+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$

г) $$x=\frac{3\pi}{4}+\pi n,\ \arctg \frac{4}{3}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$