Упр.18.18 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) наименьший положительный корень;
б) корни, принадлежащие отрезку [-пи/2; 3пи/2];
в) наибольший отрицательный корень;
г) корни, принадлежащие интервалу (-пи; пи/2).

Решим уравнение:

$$\sin\left(2x-\frac{\pi}{4}\right)=-1.$$

Синус равен $-1$, когда

$$2x-\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Тогда

$$2x=-\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4}+2\pi n=-\frac{\pi}{4}+2\pi n,$$

$$x=-\frac{\pi}{8}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

а) Наименьший положительный корень получаем при $n=1$:

$$x=-\frac{\pi}{8}+\pi=\frac{7\pi}{8}.$$

б) Найдём корни на отрезке $$\left[-\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}\right].$$

Подходят значения при $n=0$ и $n=1$:

$$x_1=-\frac{\pi}{8},\qquad x_2=\frac{7\pi}{8}.$$

в) Наибольший отрицательный корень получаем при $n=0$:

$$x=-\frac{\pi}{8}.$$

г) Найдём корни на интервале $$\left(-\pi;\frac{\pi}{2}\right).$$

Подходит только значение

$$x=-\frac{\pi}{8}.$$

Ответ

а) $$\frac{7\pi}{8}$$

б) $$-\frac{\pi}{8},\ \frac{7\pi}{8}$$

в) $$-\frac{\pi}{8}$$

г) $$-\frac{\pi}{8}$$