Упр.18.2 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) sin (-x/3) = корень(2)/2;
б) cos (-2х ) = -корень(3)/2;
в) tg (-4x) = 1/корень(3);
г) ctg (-x/2) = 1.

1. $$\sin\left(-\frac{x}{3}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$$

   Так как $$\sin(-t)=-\sin t,$$ получаем

   $$-\sin\frac{x}{3}=\frac{\sqrt{2}}{2}, \qquad \sin\frac{x}{3}=-\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

   Тогда

   $$\frac{x}{3}=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Умножая на 3, имеем

   $$x=(-1)^{n+1}\frac{3\pi}{4}+3\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2. $$\cos(-2x)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$

   Так как $$\cos(-t)=\cos t,$$ получаем

   $$\cos 2x=-\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

   Тогда

   $$2x=\pm\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Следовательно,

   $$x=\pm\frac{5\pi}{12}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

3. $$\tg(-4x)=\frac{1}{\sqrt{3}}$$

   Так как $$\tg(-t)=-\tg t,$$ получаем

   $$\tg 4x=-\frac{1}{\sqrt{3}}.$$

   Тогда

   $$4x=-\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Следовательно,

   $$x=-\frac{\pi}{24}+\frac{\pi n}{4},\quad n\in\mathbb Z.$$

4. $$\ctg\left(-\frac{x}{2}\right)=1$$

   Так как $$\ctg(-t)=-\ctg t,$$ получаем

   $$\ctg\frac{x}{2}=-1.$$

   Тогда

   $$\frac{x}{2}=\frac{3\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Следовательно,

   $$x=\frac{3\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=(-1)^{n+1}\frac{3\pi}{4}+3\pi n,\ n\in\mathbb Z;$$
б) $$x=\pm\frac{5\pi}{12}+\pi n,\ n\in\mathbb Z;$$
в) $$x=-\frac{\pi}{24}+\frac{\pi n}{4},\ n\in\mathbb Z;$$
г) $$x=\frac{3\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$