Упр.18.14 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) Найдите корни уравнения sin x = 1/2, принадлежащие отрезку [0; 4пи].
б) Найдите корни уравнения cos x = -1/2, принадлежащие отрезку [-2пи; Зпи].

а) Решим уравнение $$\sin x=\frac12$$ на отрезке $$[0;4\pi].$$

Так как $$\arcsin \frac12=\frac{\pi}{6},$$ то общая формула корней:

$$x=(-1)^k\frac{\pi}{6}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

Подберём значения $$k,$$ при которых корни принадлежат отрезку $$[0;4\pi].$$ Получаем:

$$ x_1=\frac{\pi}{6},\quad x_2=\frac{5\pi}{6},\quad x_3=\frac{13\pi}{6},\quad x_4=\frac{17\pi}{6}. $$

б) Решим уравнение $$\cos x=-\frac12$$ на отрезке $$[-2\pi;3\pi].$$

Так как $$\arccos\left(-\frac12\right)=\frac{2\pi}{3},$$ то общая формула корней:

$$x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

Подбираем значения $$k,$$ при которых корни принадлежат отрезку $$[-2\pi;3\pi].$$ Получаем:

$$ x_1=-\frac{4\pi}{3},\quad x_2=-\frac{2\pi}{3},\quad x_3=\frac{2\pi}{3},\quad x_4=\frac{4\pi}{3},\quad x_5=\frac{8\pi}{3}. $$

Ответ

а) $$\frac{\pi}{6},\ \frac{5\pi}{6},\ \frac{13\pi}{6},\ \frac{17\pi}{6}.$$

б) $$-\frac{4\pi}{3},\ -\frac{2\pi}{3},\ \frac{2\pi}{3},\ \frac{4\pi}{3},\ \frac{8\pi}{3}.$$