Упр.18.12 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

a) sin^2 x + 2sin x * cos x — 3cos^2 x = 0;
Р±) sin^2 x — 4sin x * cos x + 3cos^2 x = 0;
РІ) sin^2 x + sin x * cos x — 2cos^2 x = 0;
Рі) 3sin^2 x + sin x * cos x — 2cos^2 x = 0.

Подробный ответ

а) $$\sin^2 x+2\sin x\cos x-3\cos^2 x=0$$
Разделим уравнение на $$\cos^2 x$$:
$$\tg^2 x+2\tg x-3=0$$
Пусть $$t=\tg x$$. Тогда
$$t^2+2t-3=0$$
$$D=2^2-4\cdot1\cdot(-3)=16$$
$$t_{1,2}=\frac{-2\pm4}{2}$$
$$t_1=1,\quad t_2=-3$$
Следовательно,
$$\tg x=1 \quad \text{или} \quad \tg x=-3$$
$$x=\frac{\pi}{4}+\pi n \quad \text{или} \quad x=-\arctg 3+\pi n,\; n\in\mathbb Z$$
б) $$\sin^2 x-4\sin x\cos x+3\cos^2 x=0$$
Разделим на $$\cos^2 x$$:
$$\tg^2 x-4\tg x+3=0$$
Пусть $$t=\tg x$$. Тогда
$$t^2-4t+3=0$$
$$D=(-4)^2-4\cdot1\cdot3=4$$
$$t_{1,2}=\frac{4\pm2}{2}$$
$$t_1=1,\quad t_2=3$$
Значит,
$$x=\frac{\pi}{4}+\pi n \quad \text{или} \quad x=\arctg 3+\pi n,\; n\in\mathbb Z$$
в) $$\sin^2 x+\sin x\cos x-2\cos^2 x=0$$
Разделим на $$\cos^2 x$$:
$$\tg^2 x+\tg x-2=0$$
Пусть $$t=\tg x$$. Тогда
$$t^2+t-2=0$$
$$D=1^2-4\cdot1\cdot(-2)=9$$
$$t_{1,2}=\frac{-1\pm3}{2}$$
$$t_1=1,\quad t_2=-2$$
Следовательно,
$$x=\frac{\pi}{4}+\pi n \quad \text{или} \quad x=-\arctg 2+\pi n,\; n\in\mathbb Z$$
г) $$3\sin^2 x+\sin x\cos x-2\cos^2 x=0$$
Разделим на $$\cos^2 x$$:
$$3\tg^2 x+\tg x-2=0$$
Пусть $$t=\tg x$$. Тогда
$$3t^2+t-2=0$$
$$D=1^2-4\cdot3\cdot(-2)=25$$
$$t_{1,2}=\frac{-1\pm5}{6}$$
$$t_1=\frac{2}{3},\quad t_2=-1$$
Значит,
$$x=\arctg \frac{2}{3}+\pi n \quad \text{или} \quad x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\; n\in\mathbb Z$$