Упр.17.14 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) у = arccos 2x + arccos (-2x);
б) у = arccos 1/x + arccos (-1/x);
в) у = arcctg x + arcctg (-x);
г) у = arcctg корень(x) + arcctg (-корень(x)).

1. а) $$y=\arccos 2x+\arccos(-2x)$$

   Так как $$\arccos(-t)=\pi-\arccos t,$$ то

   $$y=\arccos 2x+\pi-\arccos 2x=\pi.$$

   Область определения:

   $$-1\le 2x\le 1,$$

   $$-\frac12\le x\le \frac12.$$

   Значит, график — отрезок прямой $$y=\pi$$ при $$x\in\left[-\frac12;\frac12\right].$$

2. б) $$y=\arccos\frac1x+\arccos\left(-\frac1x\right)$$

   Используем формулу $$\arccos(-t)=\pi-\arccos t$$:

   $$y=\arccos\frac1x+\pi-\arccos\frac1x=\pi.$$

   Область определения:

   $$-1\le \frac1x\le 1,$$

   то есть

   $$x\le -1 \quad \text{или} \quad x\ge 1.$$

   График состоит из двух лучей прямой $$y=\pi$$ при $$x\le -1$$ и $$x\ge 1.$$

3. в) $$y=\operatorname{arcctg}x+\operatorname{arcctg}(-x)$$

   Так как $$\operatorname{arcctg}(-x)=\pi-\operatorname{arcctg}x,$$ то

   $$y=\operatorname{arcctg}x+\pi-\operatorname{arcctg}x=\pi.$$

   Область определения: $$x\in\mathbb R.$$

   График — горизонтальная прямая $$y=\pi.$$

4. г) $$y=\operatorname{arcctg}\sqrt{x}+\operatorname{arcctg}(-\sqrt{x})$$

   Область определения: $$x\ge 0.$$

   Используем формулу $$\operatorname{arcctg}(-t)=\pi-\operatorname{arcctg}t$$:

   $$y=\operatorname{arcctg}\sqrt{x}+\pi-\operatorname{arcctg}\sqrt{x}=\pi.$$

   График — луч прямой $$y=\pi$$ при $$x\ge 0.$$

Ответ

а) $$y=\pi,\quad x\in\left[-\frac12;\frac12\right];$$ б) $$y=\pi,\quad x\le -1 \text{ или } x\ge 1;$$ в) $$y=\pi,\quad x\in\mathbb R;$$ г) $$y=\pi,\quad x\ge 0.$$