Упр.17.12 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

a) tg (пи + x) = корень(3);
Р±) 2ctg (2РїРё + x) — tg (РїРё/2 + x) = корень(Р—);
РІ) -корень(3)tg (РїРё — x) = 1;
Рі) ctg (2РїРё — x) + tg (3РїРё/2 + x) = 2.

1. а) $$\tg(\pi+x)=\sqrt{3}$$

   Так как $$\tg(\pi+x)=\tg x,$$ получаем

   $$\tg x=\sqrt{3}.$$

   Тогда

   $$x=\arctg \sqrt{3}+\pi n=\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

2. б) $$2\ctg(2\pi+x)-\tg\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=\sqrt{3}$$

   Используем формулы приведения:

   $$\ctg(2\pi+x)=\ctg x,\qquad \tg\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=-\ctg x.$$

   Тогда

   $$2\ctg x-(-\ctg x)=\sqrt{3},$$

   $$3\ctg x=\sqrt{3},$$

   $$\ctg x=\frac{\sqrt{3}}{3}.$$

   Следовательно,

   $$x=\arcctg\frac{\sqrt{3}}{3}+\pi n=\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

3. в) $$-\sqrt{3}\,\tg(\pi-x)=1$$

   Так как $$\tg(\pi-x)=-\tg x,$$ имеем

   $$-\sqrt{3}\cdot(-\tg x)=1,$$

   $$\sqrt{3}\,\tg x=1,$$

   $$\tg x=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}.$$

   Тогда

   $$x=\arctg\frac{\sqrt{3}}{3}+\pi n=\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

4. г) $$\ctg(2\pi-x)+\tg\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)=2$$

   Используем формулы приведения:

   $$\ctg(2\pi-x)=-\ctg x,\qquad \tg\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)=-\ctg x.$$

   Тогда

   $$-\ctg x-\ctg x=2,$$

   $$-2\ctg x=2,$$

   $$\ctg x=-1.$$

   Следовательно,

   $$x=\arcctg(-1)+\pi n=\frac{3\pi}{4}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi}{3}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$; б) $$x=\frac{\pi}{3}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$; в) $$x=\frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$; г) $$x=\frac{3\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$.