Упр.17.11 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

a) tg^2 x — 6tg x + 5 = 0;
6) tg^2 x — 2tg x — 3 = 0.

а) Сделаем замену $$t=\tg x.$$ Тогда получаем квадратное уравнение

$$t^2-6t+5=0.$$

Найдём корни:

$$D=(-6)^2-4\cdot 1\cdot 5=36-20=16,$$

$$t_{1,2}=\frac{6\pm \sqrt{16}}{2}=\frac{6\pm 4}{2}.$$

Отсюда

$$t_1=1,\quad t_2=5.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$\tg x=1 \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in \mathbb Z,$$

$$\tg x=5 \Rightarrow x=\arctg 5+\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

б) Сделаем замену $$t=\tg x.$$ Тогда

$$t^2-2t-3=0.$$

Найдём корни:

$$D=(-2)^2-4\cdot 1\cdot (-3)=4+12=16,$$

$$t_{1,2}=\frac{2\pm \sqrt{16}}{2}=\frac{2\pm 4}{2}.$$

Отсюда

$$t_1=3,\quad t_2=-1.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$\tg x=3 \Rightarrow x=\arctg 3+\pi n,\quad n\in \mathbb Z,$$

$$\tg x=-1 \Rightarrow x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\ \arctg 5+\pi n,\ n\in \mathbb Z.$$

б) $$x=\arctg 3+\pi n,\ -\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in \mathbb Z.$$