Упр.16.16 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

a) 6sin^2 x + sin x = 2;
6) 3cos^2 x = 7(sin x + 1).

а) Пусть $$\sin x=t.$$ Тогда получаем квадратное уравнение:

$$6t^2+t-2=0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=1-4\cdot 6\cdot(-2)=49.$$

Тогда

$$t_{1,2}=\frac{-1\pm 7}{12}.$$

Получаем:

$$t_1=\frac12,\qquad t_2=-\frac23.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$\sin x=\frac12 \Rightarrow x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

$$\sin x=-\frac23 \Rightarrow x=(-1)^{n+1}\arcsin\frac23+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

б) Преобразуем уравнение:

$$3\cos^2 x=7(\sin x+1)$$

$$3(1-\sin^2 x)=7\sin x+7$$

$$3\sin^2 x+7\sin x+4=0.$$

Пусть $$\sin x=t.$$ Тогда

$$3t^2+7t+4=0.$$

Дискриминант:

$$D=49-48=1.$$

Корни:

$$t_{1,2}=\frac{-7\pm 1}{6}.$$

Получаем:

$$t_1=-1,\qquad t_2=-\frac43.$$

Значение $$t_2=-\frac43$$ не подходит, так как $$\sin x\in[-1;1].$$

Следовательно,

$$\sin x=-1,$$

откуда

$$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\; x=(-1)^{n+1}\arcsin\frac23+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

б) $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$