Упр.16.17 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) sin t > корень(3)/2;
б) sin t > -1/2;
в) sin t < корень(3)/2; г) sin t < = -1/2.

1. а) $$\sin t>\frac{\sqrt{3}}{2}$$

   Решаем сначала уравнение $$\sin t=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

   Его корни:

   $$t=\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad t=\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

   На промежутке между этими точками синус больше $$\frac{\sqrt{3}}{2}$$, значит

   $$\frac{\pi}{3}+2\pi n<t<\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

2. б) $$\sin t>-\frac{1}{2}$$

   Решаем уравнение $$\sin t=-\frac{1}{2}.$$

   Его корни:

   $$t=-\frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad t=\frac{7\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

   Тогда

   $$-\frac{\pi}{6}+2\pi n<t<\frac{7\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

3. в) $$\sin t<\frac{\sqrt{3}}{2}$$

   Решаем уравнение $$\sin t=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

   Корни:

   $$t=\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad t=\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

   Синус меньше $$\frac{\sqrt{3}}{2}$$ вне промежутка между этими точками:

   $$-\frac{4\pi}{3}+2\pi n<t<\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

4. г) $$\sin t\le -\frac{1}{2}$$

   Решаем уравнение $$\sin t=-\frac{1}{2}.$$

   Корни:

   $$t=-\frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad t=\frac{7\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

   С учётом знака неравенства получаем

   $$\frac{7\pi}{6}+2\pi n\le t\le \frac{11\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Ответ

а) $$\frac{\pi}{3}+2\pi n<t<\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}$$

б) $$-\frac{\pi}{6}+2\pi n<t<\frac{7\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}$$

в) $$-\frac{4\pi}{3}+2\pi n<t<\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}$$

г) $$\frac{7\pi}{6}+2\pi n\le t\le \frac{11\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}$$