Упр.16.15 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) (2cos x + 1)(2sin x — корень(3)) = 0;
б) 2cos x — 3sin x * cos x = 0;
в) 4sin^2 x — 3sin x = 0;
г) 2sin^2 x — 1 = 0.

1. $$\left(2\cos x+1\right)\left(2\sin x-\sqrt{3}\right)=0$$

   Отсюда:

   $$2\cos x+1=0 \quad \text{или} \quad 2\sin x-\sqrt{3}=0.$$

   1) $$\cos x=-\frac12,$$ значит

   $$x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

   2) $$\sin x=\frac{\sqrt3}{2},$$ значит

   $$x=(-1)^k\frac{\pi}{3}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

2. $$2\cos x-3\sin x\cos x=0$$

   Вынесем $$\cos x$$ за скобки:

   $$\cos x\left(2-3\sin x\right)=0.$$

   Отсюда:

   $$\cos x=0 \quad \text{или} \quad 2-3\sin x=0.$$

   1) $$\cos x=0,$$ значит

   $$x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

   2) $$\sin x=\frac23,$$ значит

   $$x=(-1)^k\arcsin\frac23+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

3. $$4\sin^2 x-3\sin x=0$$

   Вынесем $$\sin x$$ за скобки:

   $$\sin x\left(4\sin x-3\right)=0.$$

   Отсюда:

   $$\sin x=0 \quad \text{или} \quad 4\sin x-3=0.$$

   1) $$\sin x=0,$$ значит

   $$x=\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

   2) $$\sin x=\frac34,$$ значит

   $$x=(-1)^k\arcsin\frac34+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

4. $$2\sin^2 x-1=0$$

   $$2\sin^2 x=1,$$

   $$\sin^2 x=\frac12,$$

   $$\sin x=\pm \frac{\sqrt2}{2}.$$

   Тогда

   $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2},\quad k\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi k,\; x=(-1)^k\frac{\pi}{3}+\pi k,\; k\in\mathbb Z;$$
б) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\; x=(-1)^k\arcsin\frac23+\pi k,\; k\in\mathbb Z;$$
в) $$x=\pi k,\; x=(-1)^k\arcsin\frac34+\pi k,\; k\in\mathbb Z;$$
г) $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2},\; k\in\mathbb Z.$$