Упр.15.13 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

a) 6cos^2 t + 5cos t + 1 = 0;
6) 3 + 9cos t = 5sin^2 t.

а) Сделаем замену $$\cos t=x.$$ Тогда получаем квадратное уравнение:

$$6x^2+5x+1=0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=5^2-4\cdot 6\cdot 1=25-24=1.$$

Тогда

$$x_{1,2}=\frac{-5\pm \sqrt{1}}{2\cdot 6}.$$

Отсюда

$$x_1=-\frac13,\qquad x_2=-\frac12.$$

Возвращаемся к переменной $$t$$:

$$\cos t=-\frac13 \quad \text{или} \quad \cos t=-\frac12.$$

Следовательно,

$$t=\pm \arccos\left(-\frac13\right)+2\pi n,$$

$$t=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\qquad n\in \mathbb Z.$$

б) Используем формулу $$\sin^2 t=1-\cos^2 t$$:

$$3+9\cos t=5\sin^2 t=5(1-\cos^2 t).$$

Тогда

$$3+9\cos t=5-5\cos^2 t,$$

$$5\cos^2 t+9\cos t-2=0.$$

Сделаем замену $$\cos t=x.$$ Получаем:

$$5x^2+9x-2=0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=9^2-4\cdot 5\cdot(-2)=81+40=121.$$

Тогда

$$x_{1,2}=\frac{-9\pm \sqrt{121}}{2\cdot 5}.$$

Отсюда

$$x_1=\frac15,\qquad x_2=-2.$$

Значение $$x_2=-2$$ не подходит, так как $$\cos t\in[-1;1].$$

Остаётся:

$$\cos t=\frac15.$$

Следовательно,

$$t=\pm \arccos\frac15+2\pi n,\qquad n\in \mathbb Z.$$

Ответ

а) $$t=\pm \arccos\left(-\frac13\right)+2\pi n,\; t=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

б) $$t=\pm \arccos\frac15+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$