Упр.14.23 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

a) Сѓ = tg(cos x) * ctg(cos x);
Р±) Сѓ = — 2tg(sin x) * ctg(sin x).

1. а) Рассмотрим функцию

   $$y=\tg(\cos x)\cdot \ctg(\cos x).$$

   Так как $$\tg t\cdot \ctg t=1$$ при тех значениях $$t$$, для которых обе функции определены, то получаем

   $$y=1.$$

   Но нужно учесть область определения:

   $$\cos x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

   $$\cos x\ne \pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Так как $$\cos x\in[-1;1],$$ условие $$\cos x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n$$ выполняется автоматически, а из условия $$\cos x\ne 0$$ получаем

   $$x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Значит, график — прямая $$y=1$$ с выколотыми точками при $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n.$$

2. б) Рассмотрим функцию

   $$y=-2\tg(\sin x)\cdot \ctg(\sin x).$$

   Аналогично,

   $$\tg t\cdot \ctg t=1,$$

   поэтому

   $$y=-2.$$

   Область определения:

   $$\sin x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

   $$\sin x\ne \pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Так как $$\sin x\in[-1;1],$$ первое условие выполняется автоматически, а из второго получаем

   $$\sin x\ne 0 \;\Rightarrow\; x\ne \pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Следовательно, график — прямая $$y=-2$$ с выколотыми точками при $$x=\pi n.$$

Ответ

а) $$y=1,\quad x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

б) $$y=-2,\quad x\ne \pi n,\ n\in\mathbb Z.$$