Упр.14.14 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Докажите, что f(tg x) = 1 / cos^2 x.

Подставим вместо аргумента функции значение $$\tg x$$:

$$f(\tg x)=(\tg x)^2+1.$$

Используем формулу $$\tg x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$$:

$$f(\tg x)=\dfrac{\sin^2 x}{\cos^2 x}+1=\dfrac{\sin^2 x}{\cos^2 x}+\dfrac{\cos^2 x}{\cos^2 x}=\dfrac{\sin^2 x+\cos^2 x}{\cos^2 x}.$$

Так как $$\sin^2 x+\cos^2 x=1$$, получаем:

$$f(\tg x)=\dfrac{1}{\cos^2 x}.$$

Что и требовалось доказать.

Ответ

$$f(\tg x)=\dfrac{1}{\cos^2 x}.$$