Упр.14.16 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) у = tg x + sin 2x — tg 3x — cos 4x;
б) у = sin 3x + cos 5x + ctg x — 2tg 2x.

1. а) Рассмотрим функцию

   $$y=\tg x+\sin 2x-\tg 3x-\cos 4x.$$

   Проверим, как изменится она при замене $$x$$ на $$x+\pi$$:

   $$ \begin{aligned} y(x+\pi)&=\tg(x+\pi)+\sin 2(x+\pi)-\tg 3(x+\pi)-\cos 4(x+\pi)\\ &=\tg x+\sin(2x+2\pi)-\tg(3x+3\pi)-\cos(4x+4\pi)\\ &=\tg x+\sin 2x-\tg 3x-\cos 4x\\ &=y(x). \end{aligned} $$

   Следовательно, число $$\pi$$ является периодом функции.

2. б) Рассмотрим функцию

   $$y=\sin 3x+\cos 5x+\ctg x-2\tg 2x.$$

   Проверим значение функции при замене $$x$$ на $$x+\pi$$:

   $$ \begin{aligned} y(x+\pi)&=\sin 3(x+\pi)+\cos 5(x+\pi)+\ctg(x+\pi)-2\tg 2(x+\pi)\\ &=\sin(3x+3\pi)+\cos(5x+5\pi)+\ctg x-2\tg(2x+2\pi)\\ &=-\sin 3x-\cos 5x+\ctg x-2\tg 2x. \end{aligned} $$

   Так как $$y(x+\pi)\ne y(x)$$, число $$\pi$$ не является периодом этой функции.

Ответ

а) $$\pi$$ — период функции; б) $$\pi$$ не является периодом функции.