Упр.13.9 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

a) f(x) =
система
3sin х, если х < пи/2, 2cos х + 3, если х > = пи/2;
б) f(x) =
система
-2cos х, если х < 0, 1/2 х4, если х > = 0.

Подробный ответ

а) Рассмотрим функцию

$$ f(x)= \begin{cases} 3\sin x, & x<\dfrac{\pi}{2},\\ 2\cos x+3, & x\ge \dfrac{\pi}{2}. \end{cases} $$

Проверим значение в точке склейки:

$$ 3\sin \dfrac{\pi}{2}=3,\qquad 2\cos \dfrac{\pi}{2}+3=3. $$

Значит, в точке $$x=\dfrac{\pi}{2}$$ графики соединяются без разрыва.

Для первой части $$y=3\sin x$$: амплитуда равна $$3$$, поэтому значения лежат в пределах $$[-3;3]$$.

Для второй части $$y=2\cos x+3$$: амплитуда равна $$2$$, сдвиг вверх на $$3$$, поэтому значения лежат в пределах $$[1;5]$$.

Следовательно, для всей функции

$$ D(f)=(-\infty;+\infty),\qquad E(f)=[-3;5]. $$

График состоит из левой части синусоиды $$y=3\sin x$$ при $$x<\dfrac{\pi}{2}$$ и правой части косинусоиды $$y=2\cos x+3$$ при $$x\ge \dfrac{\pi}{2}$$, соединённых в точке $$\left(\dfrac{\pi}{2};3\right)$$.

Функция не является ни чётной, ни нечётной, не является периодической.

б) Рассмотрим функцию

$$ f(x)= \begin{cases} -2\cos x, & x<0,\\ \dfrac12 x^4, & x\ge 0. \end{cases} $$

Проверим значение в точке склейки:

$$ \lim_{x\to 0-}(-2\cos x)=-2,\qquad f(0)=\dfrac12\cdot 0^4=0. $$

В точке $$x=0$$ есть разрыв.

Для левой части $$y=-2\cos x$$ значения лежат в пределах $$[-2;2]$$, а для правой части $$y=\dfrac12 x^4$$ при $$x\ge 0$$ имеем $$y\ge 0$$.

Значит,

$$ D(f)=(-\infty;+\infty),\qquad E(f)=[-2;+\infty). $$

График слева — часть косинусоиды $$y=-2\cos x$$ при $$x<0$$, справа — ветвь графика $$y=\dfrac12 x^4$$ при $$x\ge 0$$, начинающаяся в точке $$\left(0;0\right)$$.

Функция не является ни чётной, ни нечётной, не является периодической.