Упр.13.3 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) на отрезке [-пи/2; пи/2];
б) на интервале (0; 3пи/2);
в) на полуинтервале [пи/3; 3пи/2);
г) на отрезке [-3пи/2; -пи/4].

1. Рассмотрим функцию $$y=2\cos x.$$

   Так как $$-1 \le \cos x \le 1,$$ то $$-2 \le y \le 2.$$

2. а) На отрезке $$\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]$$ функция достигает наибольшего значения при $$x=0,$$ а наименьших — на концах отрезка:

   $$y\left(-\frac{\pi}{2}\right)=2\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)=0,$$
   $$y(0)=2\cos 0=2,$$
   $$y\left(\frac{\pi}{2}\right)=2\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)=0.$$

   Следовательно, $$y_{\min}=0,$$ $$y_{\max}=2.$$

3. б) На интервале $$\left(0;\frac{3\pi}{2}\right)$$ точка $$x=\pi$$ принадлежит интервалу и даёт наименьшее значение:

   $$y(\pi)=2\cos\pi=2\cdot(-1)=-2.$$

   Наибольшее значение не достигается, так как значение $$2$$ соответствует точке $$x=0,$$ а она не входит в интервал. Значит, $$y_{\max}$$ не существует.

4. в) На полуинтервале $$\left[\frac{\pi}{3};\frac{3\pi}{2}\right)$$:

   $$y\left(\frac{\pi}{3}\right)=2\cos\frac{\pi}{3}=2\cdot\frac12=1,$$
   $$y(\pi)=2\cos\pi=2\cdot(-1)=-2.$$

   Значит, $$y_{\min}=-2,$$ $$y_{\max}=1.$$

5. г) На отрезке $$\left[-\frac{3\pi}{2};-\frac{\pi}{4}\right]$$:

   $$y\left(-\frac{3\pi}{2}\right)=2\cos\left(-\frac{3\pi}{2}\right)=0,$$
   $$y(-\pi)=2\cos(-\pi)=2\cos\pi=-2,$$
   $$y\left(-\frac{\pi}{4}\right)=2\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)=2\cos\frac{\pi}{4}=2\cdot\frac{\sqrt2}{2}=\sqrt2.$$

   Следовательно, $$y_{\min}=-2,$$ $$y_{\max}=\sqrt2.$$

Ответ

а) $$y_{\min}=0,\ y_{\max}=2$$;
б) $$y_{\min}=-2,\ y_{\max}$$ не существует;
в) $$y_{\min}=-2,\ y_{\max}=1$$;
г) $$y_{\min}=-2,\ y_{\max}=\sqrt2$$.