Упр.12.8 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) sin^2(x — 8пи) = 1 — cos^2(16пи — x);
б) cos^2(4пи + x) = 1 — sin^2(22пи — x).

1. а) Используем периодичность тригонометрических функций:

   $$\sin^2(x-8\pi)=\sin^2(x-4\cdot 2\pi)=\sin^2 x.$$

   С другой стороны,

   $$1-\cos^2(16\pi-x)=1-\cos^2(8\cdot 2\pi-x)=1-\cos^2(-x).$$

   Так как $$\cos(-x)=\cos x,$$ то

   $$1-\cos^2(-x)=1-\cos^2 x=\sin^2 x.$$

   Следовательно,

   $$\sin^2(x-8\pi)=1-\cos^2(16\pi-x).$$

2. б) Аналогично,

   $$\cos^2(4\pi+x)=\cos^2(2\cdot 2\pi+x)=\cos^2 x.$$

   А правая часть равна

   $$1-\sin^2(22\pi-x)=1-\sin^2(11\cdot 2\pi-x)=1-\sin^2(-x).$$

   Так как $$\sin(-x)=-\sin x,$$ то

   $$1-\sin^2(-x)=1-\sin^2 x=\cos^2 x.$$

   Значит,

   $$\cos^2(4\pi+x)=1-\sin^2(22\pi-x).$$

Ответ

а) Тождество доказано; б) тождество доказано.