Упр.11.13 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) система
y = cos x,
у = -х2 + 2x — 3;
б) система
y = cos x,
у = 2/x;
в) система
y = cos x,
у = х2 — 3;
г) система
y = cos x,
|x| — у = 0.

1. а) Рассмотрим систему

   $$ \begin{cases} y=\cos x,\\ y=-x^2+2x-3. \end{cases} $$

   Парабола $$y=-x^2+2x-3$$ имеет вершину в точке $$x_0=1$$, при этом

   $$ y(1)=-1+2-3=-2. $$

   Значит, значения этой функции не больше $$-2$$, а у функции $$y=\cos x$$ значения лежат в промежутке $$[-1;1]$$. Общих точек нет.

   Следовательно, система не имеет решений.

2. б) Рассмотрим систему

   $$ \begin{cases} y=\cos x,\\ y=\dfrac{2}{x}. \end{cases} $$

   Графики функций пересекаются бесконечно много раз, значит система имеет бесконечно много решений.

3. в) Рассмотрим систему

   $$ \begin{cases} y=\cos x,\\ y=x^2-3. \end{cases} $$

   Парабола $$y=x^2-3$$ имеет вершину в точке $$\left(0,-3\right)$$. Так как $$\cos x\in[-1;1]$$, пересечение с параболой возможно только при $$x^2-3\in[-1;1]$$, то есть при $$x^2\in[2;4]$$. На графике видно две точки пересечения.

   Следовательно, система имеет 2 решения.

4. г) Рассмотрим систему

   $$ \begin{cases} y=\cos x,\\ |x|-y=0. \end{cases} $$

   Второе уравнение равносильно

   $$ y=|x|. $$

   Графики функций $$y=\cos x$$ и $$y=|x|$$ пересекаются в двух точках, значит система имеет 2 решения.

Ответ

а) нет решений; б) бесконечно много решений; в) 2 решения; г) 2 решения.