Упр.11.10 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

f(х) =
система
sin x, если x < = 0, x2, если 0 < x < пи/2, cos x, если х > = пи/2.

Рассмотрим заданную кусочную функцию:

$$ f(x)= \begin{cases} \sin x, & x\le 0,\\ x^2, & 0<x<\dfrac{\pi}{2},\\ \cos x, & x\ge \dfrac{\pi}{2}. \end{cases} $$

Построим график по частям.

1. При $$x\le 0$$ имеем график функции $$y=\sin x$$. В точке $$x=0$$ получаем

   $$f(0)=\sin 0=0.$$

2. При $$0<x<\dfrac{\pi}{2}$$ имеем график параболы $$y=x^2$$. Для построения удобно взять несколько точек:

   $$ x=0,\ 1,\ \dfrac{\pi}{2}; \qquad y=0,\ 1,\ \dfrac{\pi^2}{4}\approx 2{,}25. $$

   Так как концы промежутка не входят, точки $$\left(0,0\right)$$ и $$\left(\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi^2}{4}\right)$$ на этом участке не закрашиваются.

3. При $$x\ge \dfrac{\pi}{2}$$ имеем график функции $$y=\cos x$$. В точке $$x=\dfrac{\pi}{2}$$

   $$f\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=\cos \dfrac{\pi}{2}=0.$$

   Значит, точка $$\left(\dfrac{\pi}{2},0\right)$$ принадлежит графику и отмечается закрашенной.

Итак, график функции состоит из трёх частей: слева — ветвь синусоиды $$y=\sin x$$, на промежутке $$\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$$ — участок параболы $$y=x^2$$, справа — ветвь косинусоиды $$y=\cos x$$, начиная с точки $$x=\dfrac{\pi}{2}$$.

Область определения:

$$D(f)=(-\infty;+\infty).$$

Множество значений:

$$E(f)=\left[-1;\dfrac{\pi^2}{4}\right).$$

Ответ: график функции строится по частям: $$y=\sin x$$ при $$x\le 0$$, $$y=x^2$$ при $$0<x<\dfrac{\pi}{2}$$, $$y=\cos x$$ при $$x\ge \dfrac{\pi}{2}$$; $$D(f)=(-\infty;+\infty),\ E(f)=\left[-1;\dfrac{\pi^2}{4}\right).$$