Упр.10.20 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

система
sin (х + пи/2), если -3пи/2 < = х < 0, х + 1, если 0 < х < 2, -корень(x - 2) + 3, если x > = 2.
а) Вычислите: f(0), f(6), f(-пи — 2);
б) постройте график функции у = f(х);
в) прочитайте график функции у = f(х).

Подробный ответ

Функция задана по частям:

$$ f(x)= \begin{cases} \sin\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right), & -\dfrac{3\pi}{2}\le x\le 0,\\ x+1, & 0<x<2,\\ -\sqrt{x-2}+3, & x\ge 2. \end{cases} $$

а) Найдём значения функции.

$$ f(0)=\sin\left(0+\dfrac{\pi}{2}\right)=\sin\dfrac{\pi}{2}=1. $$

$$ f(6)=-\sqrt{6-2}+3=-\sqrt{4}+3=-2+3=1. $$

$$ -\pi-2<-\dfrac{3\pi}{2}, $$
поэтому число $$-\pi-2$$ не принадлежит области определения функции. Следовательно, $$f(-\pi-2)$$ не существует.

б) Построим график функции.

График состоит из трёх частей:

на отрезке $$\left[-\dfrac{3\pi}{2};\,0\right]$$ — график функции $$y=\sin\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)$$;
на промежутке $$\left(0;\,2\right)$$ — прямая $$y=x+1$$;
при $$x\ge 2$$ — ветвь графика $$y=-\sqrt{x-2}+3$$.

Для построения удобно отметить точки:

$$ \left(-\dfrac{3\pi}{2},0\right),\;(-\pi,-1),\;\left(-\dfrac{\pi}{2},0\right),\;(0,1),\;(2,3),\;(3,2),\;(6,1). $$

в) Свойства функции.

Область определения: $$D(f)=\left[-\dfrac{3\pi}{2};+\infty\right).$$
Область значений: $$E(f)=(-\infty;3].$$
Возрастает на $$[-\pi;2].$$
Убывает на $$\left[-\dfrac{3\pi}{2};-\pi\right]\cup[2;+\infty).$$
$$f(x)>0$$ на $$\left(-\dfrac{\pi}{2};11\right).$$
$$f(x)<0$$ на $$\left(-\dfrac{3\pi}{2};-\dfrac{\pi}{2}\right)\cup(11;+\infty).$$
Функция ограничена сверху, $$y_{\max}=f(2)=3.$$
Функция ни чётная, ни нечётная.
Функция не является периодической.
Функция непрерывна на $$\left[-\dfrac{3\pi}{2};+\infty\right).$$