Упр.10.18 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

система
2х + 2пи, если х < = -пи, sin x, если -пи < х < = 0, -2x, если х > 0.
а) Вычислите: f(-пи — 2), f(-пи/6), f(2);
б) постройте график функции y = f(х);
в) прочитайте график функции у = f(x).

Функция задана по частям:

$$ f(x)= \begin{cases} 2x+2\pi, & x\le -\pi,\\ \sin x, & -\pi<x\le 0,\\ -2x, & x>0. \end{cases} $$

а) Найдём значения функции:

$$ f(-\pi-2)=2(-\pi-2)+2\pi=-4; $$
$$ f\left(-\frac{\pi}{6}\right)=\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)=-\frac12; $$
$$ f(2)=-2\cdot 2=-4. $$

б) Построим график по частям.

При $$x\le -\pi$$ график — прямая $$y=2x+2\pi$$. Для построения удобно взять точки:

$$ x=-\frac{4\pi}{3}\Rightarrow y=2\left(-\frac{4\pi}{3}\right)+2\pi=-\frac{2\pi}{3}, \qquad x=-\pi\Rightarrow y=0. $$

При $$-\pi<x\le 0$$ график — участок синусоиды $$y=\sin x$$ от точки $$(-\pi,0)$$ до точки $$\left(0,0\right)$$, с минимумом в точке $$\left(-\frac{\pi}{2},-1\right)$$.

При $$x>0$$ график — луч прямой $$y=-2x$$, проходящий через начало координат.

в) По графику получаем:

• $$D(f)=(-\infty;+\infty)$$;
• $$E(f)=(-\infty;0]$$;
• возрастает на $$(-\infty;-\pi]\cup\left[-\frac{\pi}{2};0\right]$$;
• убывает на $$\left[-\pi;-\frac{\pi}{2}\right]\cup[0;+\infty)$$;
• $$f(x)<0$$ на $$(-\infty;-\pi)\cup(-\pi;0)\cup(0;+\infty)$$;
• наибольшее значение равно $$0$$, оно достигается при $$x=-\pi$$ и $$x=0$$;
• функция ни чётная, ни нечётная;
• не является периодической;
• непрерывна на всей области определения.

Ответ

$$ f(-\pi-2)=-4,\quad f\left(-\frac{\pi}{6}\right)=-\frac12,\quad f(2)=-4. $$