Упр.1.13 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) у = 1/(16×2-49);
б) у = корень(х2 + 4х + 3);
В) y = 1/(9-25×2);
г) у = корень(3х — х2 + 18).

1. а) $$y=\frac{1}{16x^2-49}$$

   Для области определения знаменатель не должен обращаться в нуль:

   $$16x^2-49\ne 0$$

   $$16x^2\ne 49$$

   $$x\ne \pm \frac{7}{4}$$

   Значит,

   $$D(y)=(-\infty;-\tfrac74)\cup(-\tfrac74;\tfrac74)\cup(\tfrac74;+\infty).$$

   Найдём область значений. При $$|x|<\frac74$$ знаменатель отрицателен, поэтому $$y<0$$. Наибольшее значение на этом промежутке достигается при $$x=0$$:

   $$y(0)=\frac{1}{-49}=-\frac{1}{49}.$$

   При $$|x|>\frac74$$ знаменатель положителен, значит $$y>0$$. К нулю функция лишь стремится, но не принимает его.

   Следовательно,

   $$E(y)=(-\infty;-\tfrac{1}{49}]\cup(0;+\infty).$$

2. б) $$y=\sqrt{x^2+4x+3}$$

   Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

   $$x^2+4x+3\ge 0$$

   $$\left(x+3\right)\left(x+1\right)\ge 0$$

   Отсюда

   $$x\le -3 \quad \text{или} \quad x\ge -1.$$

   Значит,

   $$D(y)=(-\infty;-3]\cup[-1;+\infty).$$

   Так как корень квадратный неотрицателен, то

   $$y\ge 0.$$

   Минимальное значение равно $$0$$, а сверху функция не ограничена.

   Следовательно,

   $$E(y)=[0;+\infty).$$

3. в) $$y=\frac{1}{9-25x^2}$$

   Знаменатель не должен быть равен нулю:

   $$9-25x^2\ne 0$$

   $$25x^2\ne 9$$

   $$x\ne \pm \frac35$$

   Поэтому

   $$D(y)=(-\infty;-\tfrac35)\cup(-\tfrac35;\tfrac35)\cup(\tfrac35;+\infty).$$

   При $$|x|<\frac35$$ знаменатель положителен, значит $$y>0$$, а при $$|x|>\frac35$$ знаменатель отрицателен, значит $$y<0$$. Значение $$0$$ функция не принимает.

   При $$x=0$$ получаем

   $$y(0)=\frac19.$$

   Это наименьшее положительное значение функции.

   Следовательно,

   $$E(y)=(-\infty;0)\cup[\tfrac19;+\infty).$$

4. г) $$y=\sqrt{3x-x^2+18}$$

   Требуем неотрицательность подкоренного выражения:

   $$3x-x^2+18\ge 0$$

   $$x^2-3x-18\le 0$$

   $$\left(x+3\right)\left(x-6\right)\le 0$$

   Отсюда

   $$-3\le x\le 6.$$

   Значит,

   $$D(y)=[-3;6].$$

   Так как $$y\ge 0$$, то наименьшее значение функции равно $$0$$.

   Найдём наибольшее значение. Подкоренное выражение — парабола, ветви вниз, её вершина при

   $$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{3}{2\cdot(-1)}=\frac32.$$

   Тогда

   $$y_{\max}=\sqrt{3\cdot \frac32-\left(\frac32\right)^2+18}=\sqrt{20.25}=4.5.$$

   Следовательно,

   $$E(y)=[0;4.5].$$

Ответ

а) $$D(y)=(-\infty;-\tfrac74)\cup(-\tfrac74;\tfrac74)\cup(\tfrac74;+\infty), \quad E(y)=(-\infty;-\tfrac{1}{49}]\cup(0;+\infty).$$

б) $$D(y)=(-\infty;-3]\cup[-1;+\infty), \quad E(y)=[0;+\infty).$$

в) $$D(y)=(-\infty;-\tfrac35)\cup(-\tfrac35;\tfrac35)\cup(\tfrac35;+\infty), \quad E(y)=(-\infty;0)\cup[\tfrac19;+\infty).$$

г) $$D(y)=[-3;6], \quad E(y)=[0;4.5].$$