Упр.9.9 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
- а) $$\frac{\cos(180+a)\cdot\cos(-a)}{\sin(-a)\cdot\sin(90+a)}$$
а) $$\frac{\cos(180^\circ+\alpha)\cdot \cos(-\alpha)}{\sin(-\alpha)\cdot \sin(90^\circ+\alpha)}$$
Используем формулы приведения:
$$\cos(180^\circ+\alpha)=-\cos\alpha,\qquad \cos(-\alpha)=\cos\alpha,$$
$$\sin(-\alpha)=-\sin\alpha,\qquad \sin(90^\circ+\alpha)=\cos\alpha.$$
Тогда
$$\frac{\cos(180^\circ+\alpha)\cdot \cos(-\alpha)}{\sin(-\alpha)\cdot \sin(90^\circ+\alpha)}=\frac{-\cos\alpha\cdot \cos\alpha}{-\sin\alpha\cdot \cos\alpha}=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=\ctg\alpha.$$
Ответ: $$\ctg\alpha$$
б) $$\frac{\sin(\pi-t)\cdot \cos(2\pi-t)}{\tg(\pi-t)\cdot \cos(\pi-t)}$$
Используем формулы приведения:
$$\sin(\pi-t)=\sin t,\qquad \cos(2\pi-t)=\cos t,$$
$$\tg(\pi-t)=-\tg t,\qquad \cos(\pi-t)=-\cos t.$$
Тогда
$$\frac{\sin(\pi-t)\cdot \cos(2\pi-t)}{\tg(\pi-t)\cdot \cos(\pi-t)}=\frac{\sin t\cdot \cos t}{(-\tg t)\cdot (-\cos t)}=\frac{\sin t\cdot \cos t}{\tg t\cdot \cos t}=\cos t.$$
Ответ: $$\cos t$$
в) $$\frac{\sin(-\alpha)\cdot \ctg(-\alpha)}{\cos(360^\circ-\alpha)\cdot \tg(180^\circ+\alpha)}$$
Используем формулы приведения:
$$\sin(-\alpha)=-\sin\alpha,\qquad \ctg(-\alpha)=-\ctg\alpha,$$
$$\cos(360^\circ-\alpha)=\cos\alpha,\qquad \tg(180^\circ+\alpha)=\tg\alpha.$$
Тогда
$$\frac{\sin(-\alpha)\cdot \ctg(-\alpha)}{\cos(360^\circ-\alpha)\cdot \tg(180^\circ+\alpha)}=\frac{(-\sin\alpha)\cdot (-\ctg\alpha)}{\cos\alpha\cdot \tg\alpha}=\frac{\sin\alpha\cdot \ctg\alpha}{\cos\alpha\cdot \tg\alpha}.$$
Так как $$\ctg\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$$ и $$\tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha},$$ получаем
$$\frac{\sin\alpha\cdot \ctg\alpha}{\cos\alpha\cdot \tg\alpha}=\ctg\alpha.$$
Ответ: $$\ctg\alpha$$
г) $$\frac{\sin(\pi+t)\cdot \sin(2\pi+t)}{\tg(\pi+t)\cdot \cos\left(\frac{3\pi}{2}-t\right)}$$
Используем формулы приведения:
$$\sin(\pi+t)=-\sin t,\qquad \sin(2\pi+t)=\sin t,$$
$$\tg(\pi+t)=\tg t,\qquad \cos\left(\frac{3\pi}{2}-t\right)=-\sin t.$$
Тогда
$$\frac{\sin(\pi+t)\cdot \sin(2\pi+t)}{\tg(\pi+t)\cdot \cos\left(\frac{3\pi}{2}-t\right)}=\frac{(-\sin t)\cdot \sin t}{\tg t\cdot (-\sin t)}=-\frac{\sin t}{\tg t}.$$
Так как $$\tg t=\frac{\sin t}{\cos t},$$ то
$$-\frac{\sin t}{\tg t}=-\frac{\sin t}{\sin t/\cos t}=-\cos t.$$
Ответ: $$-\cos t$$
