Упр.9.12 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
- Решите уравнение:
а) $$2\cos(2\pi+t)+\sin\left(\frac{\pi}{2}+t\right)=3$$;
б) $$\sin(\pi+t)+2\cos\left(\frac{\pi}{2}+t\right)=3$$;
в) $$2\sin(\pi+t)+\cos\left(\frac{\pi}{2}-t\right)=-\frac{1}{2}$$;
г) $$3\sin\left(\frac{\pi}{2}+t\right)-\cos(2\pi+t)=1$$.
а) $$2\cos(2\pi+t)+\sin\left(\frac{\pi}{2}+t\right)=3$$
По формулам приведения:
$$2\cos t+\cos t=3$$
$$3\cos t=3$$
$$\cos t=1$$
Отсюда
$$t=2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
б) $$\sin(\pi+t)+2\cos\left(\frac{\pi}{2}+t\right)=3$$
По формулам приведения:
$$-\sin t-2\sin t=3$$
$$-3\sin t=3$$
$$\sin t=-1$$
Отсюда
$$t=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
в) $$2\sin(\pi+t)+\cos\left(\frac{\pi}{2}-t\right)=-\frac12$$
По формулам приведения:
$$-2\sin t+\sin t=-\frac12$$
$$-\sin t=-\frac12$$
$$\sin t=\frac12$$
Отсюда
$$t=\frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
или
$$t=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
г) $$3\sin\left(\frac{\pi}{2}+t\right)-\cos(2\pi+t)=1$$
По формулам приведения:
$$3\cos t-\cos t=1$$
$$2\cos t=1$$
$$\cos t=\frac12$$
Отсюда
$$t=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
Ответ
а) $$t=2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$; б) $$t=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$; в) $$t=\frac{\pi}{6}+2\pi n,\ t=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$; г) $$t=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$.
