Упр.8.7 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Расположите в порядке возрастания числа: $$\sin 40^\circ$$; $$\sin 80^\circ$$; $$\sin 120^\circ$$; $$\sin 160^\circ$$.

Переведём углы в радианы:

$$40^\circ=\frac{40\pi}{180^\circ}=\frac{2\pi}{9},\quad 80^\circ=\frac{4\pi}{9},\quad 120^\circ=\frac{2\pi}{3},\quad 160^\circ=\frac{8\pi}{9}.$$

Все эти углы лежат во II четверти, где $$\sin t>0.$$

Сравним значения синуса по расстоянию до точки максимума $$\frac{\pi}{2}$$:

$$\left|\frac{\pi}{2}-\frac{8\pi}{9}\right|=\frac{7\pi}{18},\quad \left|\frac{\pi}{2}-\frac{2\pi}{9}\right|=\frac{5\pi}{18},\quad \left|\frac{\pi}{2}-\frac{2\pi}{3}\right|=\frac{3\pi}{18},\quad \left|\frac{\pi}{2}-\frac{4\pi}{9}\right|=\frac{\pi}{18}.$$

Чем меньше это расстояние, тем больше значение синуса. Значит, в порядке возрастания:

$$\sin 160^\circ<\sin 40^\circ<\sin 120^\circ<\sin 80^\circ.$$

Ответ: $$\sin 160^\circ,\ \sin 40^\circ,\ \sin 120^\circ,\ \sin 80^\circ.$$