Упр.8.16 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Высота треугольника составляет $$5\ \text{см}$$, а углы, прилегающие к основанию, равны $$60^\circ$$ и $$45^\circ$$. Найдите площадь треугольника.

Пусть $$BH=5$$ см — высота треугольника, $$H$$ — основание высоты.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$ABH$$ и $$CBH$$.

В треугольнике $$ABH$$:

$$\tan 45^\circ=\frac{BH}{AH}$$

так как $$\tan 45^\circ=1$$, то

$$AH=BH=5$$

В треугольнике $$CBH$$:

$$\tan 60^\circ=\frac{BH}{HC}$$

откуда

$$HC=\frac{BH}{\tan 60^\circ}=\frac{5}{\sqrt{3}}=\frac{5\sqrt{3}}{3}$$

Тогда основание треугольника

$$AC=AH+HC=5+\frac{5\sqrt{3}}{3}=\frac{15+5\sqrt{3}}{3}=\frac{5(3+\sqrt{3})}{3}$$

Площадь треугольника:

$$S_{ABC}=\frac12 \cdot AC \cdot BH=\frac12 \cdot \frac{5(3+\sqrt{3})}{3}\cdot 5=\frac{25(3+\sqrt{3})}{6}$$

Ответ

$$\frac{25(3+\sqrt{3})}{6}\text{ см}^2$$