Упр.8.14 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
- Докажите, что площадь выпуклого четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.
Пусть диагонали выпуклого четырёхугольника $$ABCD$$ пересекаются в точке $$O$$, а угол между ними равен $$\alpha$$. Тогда четырёхугольник разбивается на четыре треугольника:
$$S_{ABCD}=S_{AOB}+S_{BOC}+S_{COD}+S_{DOA}.$$
По формуле площади треугольника через две стороны и угол между ними имеем:
$$S_{AOB}=\frac12 AO\cdot BO\cdot \sin(180^\circ-\alpha)=\frac12 AO\cdot BO\cdot \sin\alpha,$$
$$S_{BOC}=\frac12 BO\cdot OC\cdot \sin\alpha,$$
$$S_{COD}=\frac12 CO\cdot OD\cdot \sin(180^\circ-\alpha)=\frac12 CO\cdot OD\cdot \sin\alpha,$$
$$S_{DOA}=\frac12 DO\cdot AO\cdot \sin\alpha.$$
Складывая, получаем:
$$\begin{aligned} S_{ABCD} &=\frac12 \sin\alpha\,(AO\cdot BO+BO\cdot OC+CO\cdot OD+DO\cdot AO)\\ &=\frac12 \sin\alpha\,(BO(AO+OC)+DO(AO+OC))\\ &=\frac12 \sin\alpha\,(AO+OC)(BO+OD). \end{aligned}$$
Но $$AO+OC=AC$$, а $$BO+OD=BD$$. Значит,
$$S_{ABCD}=\frac12\,AC\cdot BD\cdot \sin\alpha.$$
Что и требовалось доказать.
Ответ
$$S=\frac12\,d_1d_2\sin\alpha$$
