Упр.8.12 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
В прямоугольном треугольнике известны длина гипотенузы $$c$$ и острый угол $$\alpha$$. Найдите длину катетов, площадь треугольника и радиус описанной окружности, если:
а) $$c=12$$, $$\alpha=60^\circ$$;
б) $$c=6$$, $$\alpha=45^\circ$$;
в) $$c=4$$, $$\alpha=30^\circ$$;
г) $$c=60$$, $$\alpha=60^\circ$$.
Используем формулы для прямоугольного треугольника:
$$a=c\sin\alpha,\qquad b=c\cos\alpha,\qquad S=\frac12ab,\qquad R=\frac c2.$$
$$c=12,\ \alpha=60^\circ$$
$$a=12\sin60^\circ=12\cdot\frac{\sqrt3}{2}=6\sqrt3$$
$$b=12\cos60^\circ=12\cdot\frac12=6$$
$$S=\frac12\cdot 6\sqrt3\cdot 6=18\sqrt3$$
$$R=\frac{12}{2}=6$$
$$c=6,\ \alpha=45^\circ$$
$$a=6\sin45^\circ=6\cdot\frac{\sqrt2}{2}=3\sqrt2$$
$$b=6\cos45^\circ=6\cdot\frac{\sqrt2}{2}=3\sqrt2$$
$$S=\frac12\cdot 3\sqrt2\cdot 3\sqrt2=9$$
$$R=\frac{6}{2}=3$$
$$c=4,\ \alpha=30^\circ$$
$$a=4\sin30^\circ=4\cdot\frac12=2$$
$$b=4\cos30^\circ=4\cdot\frac{\sqrt3}{2}=2\sqrt3$$
$$S=\frac12\cdot 2\cdot 2\sqrt3=2\sqrt3$$
$$R=\frac{4}{2}=2$$
$$c=60,\ \alpha=60^\circ$$
$$a=60\sin60^\circ=60\cdot\frac{\sqrt3}{2}=30\sqrt3$$
$$b=60\cos60^\circ=60\cdot\frac12=30$$
$$S=\frac12\cdot 30\sqrt3\cdot 30=450\sqrt3$$
$$R=\frac{60}{2}=30$$
Ответ:
а) $$a=6\sqrt3,\ b=6,\ S=18\sqrt3,\ R=6$$;
б) $$a=3\sqrt2,\ b=3\sqrt2,\ S=9,\ R=3$$;
в) $$a=2,\ b=2\sqrt3,\ S=2\sqrt3,\ R=2$$;
г) $$a=30\sqrt3,\ b=30,\ S=450\sqrt3,\ R=30$$.
