Упр.7.9 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$\operatorname{tg} t = \frac{3}{4},\ 0 < t < \frac{\pi}{2}$$; б) $$\operatorname{tg} t = 2{,}4,\ \pi < t < \frac{3\pi}{2}$$; в) $$\operatorname{tg} t = -\frac{3}{4},\ \frac{\pi}{2} < t < \pi$$; г) $$\operatorname{tg} t = -\frac{5}{12},\ \frac{3\pi}{2} < t < 2\pi$$.

а) Так как $$0<t<\frac{\pi}{2},$$ то угол лежит в первой четверти, значит, $$\sin t>0,\ \cos t>0.$$

Используем формулы:

$$\ctg t=\frac{1}{\tg t}=\frac{1}{\frac{3}{4}}=\frac{4}{3}.$$

$$1+\tg^2 t=\frac{1}{\cos^2 t}, \qquad \cos t=\sqrt{\frac{1}{1+\tg^2 t}}.$$

Тогда

$$\cos t=\sqrt{\frac{1}{1+\left(\frac{3}{4}\right)^2}}=\sqrt{\frac{1}{1+\frac{9}{16}}}=\sqrt{\frac{16}{25}}=\frac{4}{5}.$$

$$\sin t=\tg t\cdot \cos t=\frac{3}{4}\cdot \frac{4}{5}=\frac{3}{5}.$$

Ответ: $$\sin t=\frac{3}{5},\ \cos t=\frac{4}{5},\ \ctg t=\frac{4}{3}.$$

б) Так как $$\pi<t<\frac{3\pi}{2},$$ то угол лежит в третьей четверти, значит, $$\sin t<0,\ \cos t<0,\ \tg t>0.$$

$$\ctg t=\frac{1}{\tg t}=\frac{1}{2{,}4}=\frac{1}{\frac{12}{5}}=\frac{5}{12}.$$

$$\cos t=-\sqrt{\frac{1}{1+\tg^2 t}}=-\sqrt{\frac{1}{1+\left(\frac{12}{5}\right)^2}}=-\sqrt{\frac{25}{169}}=-\frac{5}{13}.$$

$$\sin t=\tg t\cdot \cos t=\frac{12}{5}\cdot \left(-\frac{5}{13}\right)=-\frac{12}{13}.$$

Ответ: $$\sin t=-\frac{12}{13},\ \cos t=-\frac{5}{13},\ \ctg t=\frac{5}{12}.$$

в) Так как $$\frac{\pi}{2}<t<\pi,$$ то угол лежит во второй четверти, значит, $$\sin t>0,\ \cos t<0,\ \tg t<0.$$

$$\ctg t=\frac{1}{\tg t}=\frac{1}{-\frac{3}{4}}=-\frac{4}{3}.$$

$$\cos t=-\sqrt{\frac{1}{1+\tg^2 t}}=-\sqrt{\frac{1}{1+\left(-\frac{3}{4}\right)^2}}=-\sqrt{\frac{16}{25}}=-\frac{4}{5}.$$

$$\sin t=\tg t\cdot \cos t=-\frac{3}{4}\cdot \left(-\frac{4}{5}\right)=\frac{3}{5}.$$

Ответ: $$\sin t=\frac{3}{5},\ \cos t=-\frac{4}{5},\ \ctg t=-\frac{4}{3}.$$

г) Так как $$\frac{3\pi}{2}<t<2\pi,$$ то угол лежит в четвертой четверти, значит, $$\sin t<0,\ \cos t>0,\ \tg t<0.$$

$$\ctg t=\frac{1}{\tg t}=\frac{1}{-\frac{5}{12}}=-\frac{12}{5}.$$

$$\cos t=\sqrt{\frac{1}{1+\tg^2 t}}=\sqrt{\frac{1}{1+\left(-\frac{5}{12}\right)^2}}=\sqrt{\frac{144}{169}}=\frac{12}{13}.$$

$$\sin t=\tg t\cdot \cos t=-\frac{5}{12}\cdot \frac{12}{13}=-\frac{5}{13}.$$

Ответ: $$\sin t=-\frac{5}{13},\ \cos t=\frac{12}{13},\ \ctg t=-\frac{12}{5}.$$