Упр.7.8 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$\cos t=0{,}8,\quad 0<t<\frac{\pi}{2}$$;
   б) $$\cos t=-\frac{5}{13},\quad \frac{\pi}{2}<t<\pi$$;
   в) $$\cos t=0{,}6,\quad \frac{3\pi}{2}<t<2\pi$$;
   г) $$\cos t=-\frac{24}{25},\quad \pi<t<\frac{3\pi}{2}$$.

а) Так как $$0<t<\frac{\pi}{2},$$ то угол лежит в первой четверти, значит, все тригонометрические функции положительны.

$$\sin t=\sqrt{1-\cos^2 t}=\sqrt{1-0{,}8^2}=\sqrt{1-0{,}64}=\sqrt{0{,}36}=0{,}6$$

$$\tg t=\frac{\sin t}{\cos t}=\frac{0{,}6}{0{,}8}=\frac{3}{4}$$

$$\ctg t=\frac{1}{\tg t}=\frac{4}{3}$$

Ответ: $$\sin t=0{,}6,\ \tg t=\frac{3}{4},\ \ctg t=\frac{4}{3}.$$

б) Так как $$\frac{\pi}{2}<t<\pi,$$ то угол лежит во второй четверти, значит, $$\sin t>0,$$ $$\cos t<0.$$

$$\sin t=\sqrt{1-\cos^2 t}=\sqrt{1-\left(-\frac{5}{13}\right)^2}=\sqrt{1-\frac{25}{169}}=\sqrt{\frac{144}{169}}=\frac{12}{13}$$

$$\tg t=\frac{\sin t}{\cos t}=\frac{12/13}{-5/13}=-\frac{12}{5}$$

$$\ctg t=\frac{1}{\tg t}=-\frac{5}{12}$$

Ответ: $$\sin t=\frac{12}{13},\ \tg t=-\frac{12}{5},\ \ctg t=-\frac{5}{12}.$$

в) Так как $$\frac{3\pi}{2}<t<2\pi,$$ то угол лежит в четвертой четверти, значит, $$\cos t>0,$$ $$\sin t<0.$$

$$\sin t=-\sqrt{1-\cos^2 t}=-\sqrt{1-0{,}6^2}=-\sqrt{1-0{,}36}=-\sqrt{0{,}64}=-0{,}8$$

$$\tg t=\frac{\sin t}{\cos t}=\frac{-0{,}8}{0{,}6}=-\frac{4}{3}$$

$$\ctg t=\frac{1}{\tg t}=-\frac{3}{4}$$

Ответ: $$\sin t=-0{,}8,\ \tg t=-\frac{4}{3},\ \ctg t=-\frac{3}{4}.$$

г) Так как $$\pi<t<\frac{3\pi}{2},$$ то угол лежит в третьей четверти, значит, $$\sin t<0,$$ $$\cos t<0,$$ а $$\tg t>0.$$

$$\sin t=-\sqrt{1-\cos^2 t}=-\sqrt{1-\left(-\frac{24}{25}\right)^2}=-\sqrt{1-\frac{576}{625}}=-\sqrt{\frac{49}{625}}=-\frac{7}{25}$$

$$\tg t=\frac{\sin t}{\cos t}=\frac{-7/25}{-24/25}=\frac{7}{24}$$

$$\ctg t=\frac{1}{\tg t}=\frac{24}{7}$$

Ответ: $$\sin t=-\frac{7}{25},\ \tg t=\frac{7}{24},\ \ctg t=\frac{24}{7}.$$