Упр.7.21 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Вычислите $$\sin t+\cos t$$, если $$\operatorname{tg}t-\frac{1}{\operatorname{tg}t}=-\frac{7}{12}$$ и $$0<t<\frac{\pi}{2}$$.

Из уравнения

$$\tg t-\frac{1}{\tg t}=-\frac{7}{12}$$

получим:

$$12\tg^2 t-12=-7\tg t,$$

$$12\tg^2 t+7\tg t-12=0.$$

Обозначим $$\tg t=x.$$ Тогда

$$12x^2+7x-12=0.$$

Найдём корни:

$$D=7^2-4\cdot 12\cdot(-12)=49+576=625,$$

$$x_{1,2}=\frac{-7\pm 25}{24}.$$

Получаем:

$$x_1=\frac{18}{24}=\frac34,\qquad x_2=\frac{-32}{24}=-\frac43.$$

Так как $$0<t<\frac{\pi}{2},$$ то $$\tg t>0,$$ значит,

$$\tg t=\frac34.$$

Тогда

$$\cos t=\frac{1}{\sqrt{1+\tg^2 t}}=\frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac34\right)^2}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{25}{16}}}=\frac45,$$

$$\sin t=\tg t\cdot \cos t=\frac34\cdot \frac45=\frac35.$$

Следовательно,

$$\sin t+\cos t=\frac35+\frac45=\frac75.$$

Ответ

$$\frac75$$