Упр.7.16 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$(\sin t+\cos t)^2-1=2\operatorname{tg}^2(t);$$

б) $$\sin^3(t)\left(1+\operatorname{ctg}t\right)+\cos^3(t)\left(1+\operatorname{tg}t\right)=\sin t+\cos t.$$

а) Преобразуем левую часть:

$$\frac{(\sin t+\cos t)^2-1}{\ctg t-\sin t\cos t} = \frac{\sin^2 t+2\sin t\cos t+\cos^2 t-1}{\frac{\cos t}{\sin t}-\sin t\cos t}$$

Так как $$\sin^2 t+\cos^2 t=1,$$ получаем

$$\frac{2\sin t\cos t}{\frac{\cos t}{\sin t}-\sin t\cos t} = \frac{2\sin t\cos t}{\frac{\cos t-\sin^2 t\cos t}{\sin t}} = \frac{2\sin^2 t\cos t}{\cos t(1-\sin^2 t)}$$

$$= \frac{2\sin^2 t}{\cos^2 t} = 2\tg^2 t.$$

Тождество доказано.

б) Преобразуем левую часть:

$$\sin^3 t(1+\ctg t)+\cos^3 t(1+\tg t) = \sin^3 t\left(1+\frac{\cos t}{\sin t}\right)+\cos^3 t\left(1+\frac{\sin t}{\cos t}\right)$$

$$= \sin^3 t\cdot \frac{\sin t+\cos t}{\sin t} + \cos^3 t\cdot \frac{\cos t+\sin t}{\cos t}$$

$$= \sin^2 t(\sin t+\cos t)+\cos^2 t(\cos t+\sin t)$$

$$= (\sin^2 t+\cos^2 t)(\sin t+\cos t) = \sin t+\cos t.$$

Тождество доказано.