Упр.7.15 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Докажите тождество:
   а) $$1+\sin t=\frac{\cos t+\operatorname{ctg} t}{\operatorname{ctg} t}$$;
   б) $$\frac{1-\sin t}{\cos t}=\frac{\cos t}{1+\sin t}$$.

а) Преобразуем правую часть:

$$\frac{\cos t+\ctg t}{\ctg t}=\frac{\cos t}{\ctg t}+1=\frac{\cos t}{\frac{\cos t}{\sin t}}+1=\sin t+1.$$

Следовательно, $$1+\sin t=\frac{\cos t+\ctg t}{\ctg t}.$$

б) Преобразуем левую часть:

$$\frac{1-\sin t}{\cos t}\cdot\frac{1+\sin t}{1+\sin t}=\frac{1-\sin^2 t}{\cos t(1+\sin t)}=\frac{\cos^2 t}{\cos t(1+\sin t)}=\frac{\cos t}{1+\sin t}.$$

Значит, $$\frac{1-\sin t}{\cos t}=\frac{\cos t}{1+\sin t}.$$

в) Преобразуем левую часть:

$$\frac{\sin t+\tg t}{\tg t}=\frac{\sin t}{\tg t}+1=\frac{\sin t}{\frac{\sin t}{\cos t}}+1=\cos t+1.$$

Следовательно, $$\frac{\sin t+\tg t}{\tg t}=1+\cos t.$$

г) Преобразуем левую часть:

$$\frac{\sin t}{1-\cos t}\cdot\frac{1+\cos t}{1+\cos t}=\frac{\sin t(1+\cos t)}{1-\cos^2 t}=\frac{\sin t(1+\cos t)}{\sin^2 t}=\frac{1+\cos t}{\sin t}.$$

Значит, $$\frac{\sin t}{1-\cos t}=\frac{1+\cos t}{\sin t}.$$