Упр.7.14 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$\frac{1-\sin^2(t)}{1-\cos^2(t)}+\tg t\cdot\ctg t$$;
б) $$\frac{\cos^2(t)-\ctg^2(t)}{\sin^2(t)-\tg^2(t)}$$.

а) $$\frac{1-\sin^2 t}{1-\cos^2 t}+\tg t\cdot \ctg t$$

Используем тождества $$1-\sin^2 t=\cos^2 t$$ и $$1-\cos^2 t=\sin^2 t$$, а также $$\tg t\cdot \ctg t=1$$:

$$\frac{1-\sin^2 t}{1-\cos^2 t}+\tg t\cdot \ctg t=\frac{\cos^2 t}{\sin^2 t}+1=\frac{\cos^2 t+\sin^2 t}{\sin^2 t}=\frac{1}{\sin^2 t}.$$

б) $$\frac{\cos^2 t-\ctg^2 t}{\sin^2 t-\tg^2 t}$$

Преобразуем через $$\tg t=\frac{\sin t}{\cos t}$$ и $$\ctg t=\frac{\cos t}{\sin t}$$:

$$\frac{\cos^2 t-\ctg^2 t}{\sin^2 t-\tg^2 t} =\frac{\cos^2 t-\frac{\cos^2 t}{\sin^2 t}}{\sin^2 t-\frac{\sin^2 t}{\cos^2 t}} =\frac{\cos^2 t\left(1-\frac{1}{\sin^2 t}\right)}{\sin^2 t\left(1-\frac{1}{\cos^2 t}\right)}.$$

Приведём к общему виду:

$$\frac{\cos^2 t-\ctg^2 t}{\sin^2 t-\tg^2 t} =\frac{\cos^2 t\cdot \frac{\sin^2 t-1}{\sin^2 t}}{\sin^2 t\cdot \frac{\cos^2 t-1}{\cos^2 t}} =\frac{\cos^2 t\cdot \frac{-\cos^2 t}{\sin^2 t}}{\sin^2 t\cdot \frac{-\sin^2 t}{\cos^2 t}} =\frac{\cos^4 t}{\sin^4 t} =\ctg^4 t.$$

Ответ: а) $$\frac{1}{\sin^2 t}$$; б) $$\ctg^4 t$$.