Упр.7.13 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$\frac{\sin t}{1+\cos t}+\frac{\sin t}{1-\cos t}$$

б) $$\operatorname{ctg}^2(t)\left(\cos^2(t)-1\right)+1$$

в) $$\frac{\cos t}{1+\sin t}+\frac{\cos t}{1-\sin t}$$

г) $$\frac{\operatorname{tg} t+1}{1+\operatorname{ctg} t}$$

1. $$\frac{\sin t}{1+\cos t}+\frac{\sin t}{1-\cos t}=\frac{\sin t(1-\cos t)+\sin t(1+\cos t)}{(1+\cos t)(1-\cos t)}$$

   $$=\frac{\sin t-\sin t\cos t+\sin t+\sin t\cos t}{1-\cos^2 t}=\frac{2\sin t}{\sin^2 t}=\frac{2}{\sin t}$$

2. $$\operatorname{ctg}^2 t\cdot(\cos^2 t-1)+1=-\operatorname{ctg}^2 t\cdot(1-\cos^2 t)+1$$

   $$=-\frac{\cos^2 t}{\sin^2 t}\cdot \sin^2 t+1=-\cos^2 t+1=\sin^2 t$$

3. $$\frac{\cos t}{1+\sin t}+\frac{\cos t}{1-\sin t}=\frac{\cos t(1-\sin t)+\cos t(1+\sin t)}{(1+\sin t)(1-\sin t)}$$

   $$=\frac{\cos t-\cos t\sin t+\cos t+\cos t\sin t}{1-\sin^2 t}=\frac{2\cos t}{\cos^2 t}=\frac{2}{\cos t}$$

4. $$\frac{\tg t+1}{1+\ctg t}=\frac{\frac{\sin t}{\cos t}+1}{1+\frac{\cos t}{\sin t}}=\frac{\frac{\sin t+\cos t}{\cos t}}{\frac{\sin t+\cos t}{\sin t}}=\frac{\sin t}{\cos t}=\tg t$$

Ответ: а) $$\frac{2}{\sin t}$$; б) $$\sin^2 t$$; в) $$\frac{2}{\cos t}$$; г) $$\tg t$$.