Упр.7.12 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Упростите выражение:

• а) $$\operatorname{ctg} t-\frac{\cos t-1}{\sin t}$$;
• б) $$\operatorname{ctg}^2(t)-\left(\sin^{-2}(t)-1\right)$$;
• в) $$\cos^2(t)-\left(\operatorname{ctg}^2(t)+1\right)\sin^2(t)$$;
• г) $$\frac{\sin^2(t)-1}{\cos^2(t)-1}+\operatorname{tg}t\cdot\operatorname{ctg}t$$.

а) $$\ctg t-\frac{\cos t-1}{\sin t}=\frac{\cos t}{\sin t}-\frac{\cos t-1}{\sin t}=\frac{\cos t-\cos t+1}{\sin t}=\frac{1}{\sin t}.$$

Ответ: $$\frac{1}{\sin t}$$

б) $$\ctg^2 t-\left(\sin^{-2} t-1\right)=\frac{\cos^2 t}{\sin^2 t}-\left(\frac{1}{\sin^2 t}-1\right)=\frac{\cos^2 t-1}{\sin^2 t}+1.$$

Так как $$\cos^2 t-1=-\sin^2 t,$$ то

$$\frac{-\sin^2 t}{\sin^2 t}+1=-1+1=0.$$

Ответ: $$0$$

в) $$\cos^2 t-\left(\ctg^2 t+1\right)\sin^2 t=\cos^2 t-\left(\frac{\cos^2 t}{\sin^2 t}+1\right)\sin^2 t.$$

$$\cos^2 t-\left(\cos^2 t+\sin^2 t\right)=\cos^2 t-1=-\sin^2 t.$$

Ответ: $$-\sin^2 t$$

г) $$\frac{\sin^2 t-1}{\cos^2 t-1}+\tg t\cdot\ctg t=\frac{-(1-\sin^2 t)}{-(1-\cos^2 t)}+1=\frac{\cos^2 t}{\sin^2 t}+1.$$

$$\frac{\cos^2 t}{\sin^2 t}+1=\frac{\cos^2 t+\sin^2 t}{\sin^2 t}=\frac{1}{\sin^2 t}.$$

Ответ: $$\frac{1}{\sin^2 t}$$