Упр.7.11 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $$s=f(t)$$, если: а) $$f(t)=1-\left(\cos^2(t)-\sin^2(t)\right)$$; б) $$f(t)=1-\sin t\cdot\cos t\cdot\tg t$$; в) $$f(t)=\sin t+3\sin^2(t)+3\cos^2(t)$$; г) $$f(t)=\cos^2(t)\cdot\tg^2(t)+5\cos^2(t)-1$$.

а) $$f(t)=1-(\cos^2 t-\sin^2 t)=1-\cos^2 t+\sin^2 t=2\sin^2 t.$$

Так как $$0\le \sin^2 t\le 1,$$ то

$$0\le 2\sin^2 t\le 2.$$

Следовательно, наименьшее значение функции равно $$0,$$ наибольшее — $$2.$$

б) $$f(t)=1-\sin t\cdot \cos t\cdot \tg t=1-\sin t\cdot \cos t\cdot \frac{\sin t}{\cos t}=1-\sin^2 t=\cos^2 t.$$

При этом $$\tg t$$ определена только при $$\cos t\ne 0,$$ поэтому значение $$0$$ функция не принимает, но может сколь угодно близко к нему приближаться. Так как $$0\le \cos^2 t\le 1,$$ то

наибольшее значение равно $$1,$$ а наименьшего значения нет.

в) $$f(t)=\sin t+3\sin^2 t+3\cos^2 t=\sin t+3(\sin^2 t+\cos^2 t)=\sin t+3.$$

Так как $$-1\le \sin t\le 1,$$ то

$$2\le \sin t+3\le 4.$$

Значит, $$f_{\min}=2,$$ $$f_{\max}=4.$$

г) $$f(t)=\cos^2 t\cdot \tg^2 t+5\cos^2 t-1.$$

Упростим выражение:

$$\cos^2 t\cdot \tg^2 t+5\cos^2 t-1=\cos^2 t\cdot \frac{\sin^2 t}{\cos^2 t}+5\cos^2 t-1=\sin^2 t+5\cos^2 t-1.$$

Так как $$\sin^2 t=1-\cos^2 t,$$ получаем

$$f(t)=1-\cos^2 t+5\cos^2 t-1=4\cos^2 t.$$

При $$\tg t$$ должно быть $$\cos t\ne 0,$$ поэтому $$\cos^2 t\ne 0.$$ Следовательно,

$$0<4\cos^2 t\le 4.$$

Значит, наибольшее значение равно $$4,$$ а наименьшего значения нет.

Ответ

а) $$0,\ 2$$; б) наибольшое значение $$1$$, наименьшего нет; в) $$2,\ 4$$; г) наибольшее значение $$4$$, наименьшего нет.