Упр.7.10 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$\operatorname{ctg} t=\frac{12}{5},\ \pi б) $$\operatorname{ctg} t=\frac{7}{24},\ 0 в) $$\operatorname{ctg} t=-\frac{5}{12},\ \frac{3\pi}{2} г) $$\operatorname{ctg} t=-\frac{8}{15},\ \frac{\pi}{2}

а) $$\ctg t=\frac{12}{5}, \quad \pi<t<\frac{3\pi}{2}.$$

Так как $$\pi<t<\frac{3\pi}{2},$$ то угол лежит в третьей четверти, значит, $$\sin t<0,$$ $$\cos t<0,$$ $$\tg t>0.$$

Найдём остальные функции:

$$\tg t=\frac{1}{\ctg t}=\frac{5}{12}.$$

Из тождества $$1+\ctg^2 t=\frac{1}{\sin^2 t}$$ получаем:

$$\sin t=-\frac{1}{\sqrt{1+\ctg^2 t}}=-\frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{12}{5}\right)^2}}=-\frac{1}{\sqrt{\frac{169}{25}}}=-\frac{5}{13}.$$

Тогда

$$\cos t=\ctg t\cdot \sin t=\frac{12}{5}\cdot\left(-\frac{5}{13}\right)=-\frac{12}{13}.$$

Ответ: $$\sin t=-\frac{5}{13}, \quad \cos t=-\frac{12}{13}, \quad \tg t=\frac{5}{12}.$$

б) $$\ctg t=\frac{7}{24}, \quad 0<t<\frac{\pi}{2}.$$

Так как $$0<t<\frac{\pi}{2},$$ то угол лежит в первой четверти, значит, все тригонометрические функции положительны.

$$\tg t=\frac{1}{\ctg t}=\frac{24}{7}.$$

Найдём синус и косинус:

$$\sin t=\frac{1}{\sqrt{1+\ctg^2 t}}=\frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{7}{24}\right)^2}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{625}{576}}}=\frac{24}{25}.$$

$$\cos t=\ctg t\cdot \sin t=\frac{7}{24}\cdot\frac{24}{25}=\frac{7}{25}.$$

Ответ: $$\sin t=\frac{24}{25}, \quad \cos t=\frac{7}{25}, \quad \tg t=\frac{24}{7}.$$

в) $$\ctg t=-\frac{5}{12}, \quad \frac{3\pi}{2}<t<2\pi.$$

Так как $$\frac{3\pi}{2}<t<2\pi,$$ то угол лежит в четвёртой четверти, значит, $$\sin t<0,$$ $$\cos t>0,$$ $$\tg t<0.$$

$$\tg t=\frac{1}{\ctg t}=-\frac{12}{5}.$$

Из тождества $$1+\ctg^2 t=\frac{1}{\sin^2 t}$$ получаем:

$$\sin t=-\frac{1}{\sqrt{1+\ctg^2 t}}=-\frac{1}{\sqrt{1+\left(-\frac{5}{12}\right)^2}}=-\frac{1}{\sqrt{\frac{169}{144}}}=-\frac{12}{13}.$$

Тогда

$$\cos t=\ctg t\cdot \sin t=-\frac{5}{12}\cdot\left(-\frac{12}{13}\right)=\frac{5}{13}.$$

Ответ: $$\sin t=-\frac{12}{13}, \quad \cos t=\frac{5}{13}, \quad \tg t=-\frac{12}{5}.$$

г) $$\ctg t=-\frac{8}{15}, \quad \frac{\pi}{2}<t<\pi.$$

Так как $$\frac{\pi}{2}<t<\pi,$$ то угол лежит во второй четверти, значит, $$\sin t>0,$$ $$\cos t<0,$$ $$\tg t<0.$$

$$\tg t=\frac{1}{\ctg t}=-\frac{15}{8}.$$

Найдём синус и косинус:

$$\sin t=\frac{1}{\sqrt{1+\ctg^2 t}}=\frac{1}{\sqrt{1+\left(-\frac{8}{15}\right)^2}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{289}{225}}}=\frac{15}{17}.$$

$$\cos t=\ctg t\cdot \sin t=-\frac{8}{15}\cdot\frac{15}{17}=-\frac{8}{17}.$$

Ответ: $$\sin t=\frac{15}{17}, \quad \cos t=-\frac{8}{17}, \quad \tg t=-\frac{15}{8}.$$