Упр.60.9 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

При каких значениях $$a$$ система уравнений имеет решения:

а) $$\begin{cases} y=2x^2-bx+1,\\ y=3x+a; \end{cases}$$

б) $$\begin{cases} y=3x^2-4x-2,\\ y=-10x+a? \end{cases}$$

Чтобы система имела решение, графики параболы и прямой должны иметь хотя бы одну общую точку. Это равносильно тому, что получающееся квадратное уравнение имеет действительные корни, то есть его дискриминант неотрицателен.

а)

$$2x^2-5x+1=3x+a$$

$$2x^2-8x+(1-a)=0$$

Для существования решений нужно:

$$D=(-8)^2-4\cdot 2\cdot(1-a)\ge 0$$

$$64-8+8a\ge 0$$

$$56+8a\ge 0$$

$$a\ge -7$$

б)

$$3x^2-4x-2=-10x+a$$

$$3x^2+6x-(2+a)=0$$

Для существования решений нужно:

$$D=6^2-4\cdot 3\cdot (-(2+a))\ge 0$$

$$36+12(2+a)\ge 0$$

$$36+24+12a\ge 0$$

$$60+12a\ge 0$$

$$a\ge -5$$

Ответ

а) $$a\in[-7;+\infty)$$; б) $$a\in[-5;+\infty)$$.