Упр.60.6 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

При каких значениях $$a$$ уравнение $$ax^2+4x-a+5=0$$:

а) имеет два различных корня;

б) имеет ровно один корень;

в) не имеет действительных корней?

Рассмотрим уравнение $$ax^2+4x-a+5=0.$$

Если $$a=0,$$ то уравнение становится линейным:

$$4x+5=0,$$

и имеет один корень.

Если $$a\ne 0,$$ то это квадратное уравнение. Его дискриминант:

$$D=4^2-4\cdot a\cdot(5-a)=16-20a+4a^2=4(a^2-5a+4)=4(a-1)(a-4).$$

а) Два различных корня

Квадратное уравнение имеет два различных действительных корня, если $$D>0.$$ Тогда

$$4(a-1)(a-4)>0 \;\;\Longleftrightarrow\;\; (a-1)(a-4)>0,$$

откуда

$$a<1 \;\text{или}\; a>4.$$

Но при $$a=0$$ уравнение линейное и имеет один корень, поэтому это значение нужно исключить.

Итак,

$$a\in(-\infty;0)\cup(0;1)\cup(4;+\infty).$$

б) Ровно один корень

Ровно один корень бывает в двух случаях:

• если $$a=0,$$ тогда уравнение линейное;
• если $$D=0,$$ то есть $$4(a-1)(a-4)=0.$$

Отсюда

$$a=1 \;\text{или}\; a=4.$$

Значит,

$$a\in\{0;1;4\}.$$

в) Нет действительных корней

Для квадратного уравнения нужно, чтобы $$D<0.$$ Тогда

$$4(a-1)(a-4)<0 \;\;\Longleftrightarrow\;\; (a-1)(a-4)<0,$$

откуда

$$1<a<4.$$

Ответ: а) $$a\in(-\infty;0)\cup(0;1)\cup(4;+\infty);$$ б) $$a\in\{0;1;4\};$$ в) $$1<a<4.$$