Упр.60.5 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Решите неравенство (относительно $$x$$): а) $$b^2x-bx\geq b^2+b-2$$; б) $$\frac{x}{a}+x\leq a+1$$.

а) $$b^2x-bx\ge b^2+b-2.$$

Перенесём всё в одну сторону и вынесем общий множитель:

$$x(b^2-b)\ge b^2+b-2,$$

$$x\,b(b-1)\ge (b-1)(b+2),$$

$$(b-1)\bigl(xb-(b+2)\bigr)\ge 0.$$

Рассмотрим случаи.

• Если $$b=0$$ или $$b=1,$$ то левая часть равна нулю, и неравенство верно при любом $$x\in\mathbb R.$$
• Если $$b<0$$ или $$b>1,$$ то $$b(b-1)>0,$$ поэтому
  $$xb\ge b+2,$$
  откуда
  $$x\ge \frac{b+2}{b}.$$
• Если $$0<b<1,$$ то $$b(b-1)<0,$$ значит знак неравенства меняется:
  $$xb\le b+2,$$
  откуда
  $$x\le \frac{b+2}{b}.$$

Ответ: $$x\ge \frac{b+2}{b},\ \text{если } b<0 \text{ или } b>1;\quad x\le \frac{b+2}{b},\ \text{если } 0<b<1;\quad x\in\mathbb R,\ \text{если } b=0 \text{ или } b=1.$$

б) $$\frac{x}{a}+x\le a+1.$$

Приведём левую часть к общему множителю:

$$x\left(\frac1a+1\right)\le a+1,$$

$$x\cdot \frac{a+1}{a}\le a+1.$$

Рассмотрим случаи.

• Если $$a=0,$$ выражение $$\frac{x}{a}$$ не имеет смысла, поэтому решений нет.
• Если $$a=-1,$$ то получаем $$0\le 0,$$ значит $$x\in\mathbb R.$$
• Если $$a>0$$ или $$a<-1,$$ то $$\frac{a+1}{a}>0,$$ и тогда
  $$x\le a.$$
• Если $$-1<a<0,$$ то $$\frac{a+1}{a}<0,$$ поэтому знак неравенства меняется:
  $$x\ge a.$$

Ответ: $$x\le a,\ \text{если } a<-1 \text{ или } a>0;\quad x\ge a,\ \text{если } -1<a<0;\quad x\in\mathbb R,\ \text{если } a=-1;\quad x\in\varnothing,\ \text{если } a=0.$$