Упр.60.3 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Решите уравнение (относительно $$x$$): а) $$a^2x-4x+2=a$$; б) $$\frac{x}{a}+x-1=a$$.

а) $$a^2x-4x+2=a$$

Перенесём число $$2$$ вправо и вынесем $$x$$ за скобки:

$$a^2x-4x=a-2$$

$$x(a^2-4)=a-2$$

Разложим разность квадратов:

$$x(a-2)(a+2)=a-2$$

Если $$a\neq 2$$ и $$a\neq -2$$, то можно сократить на $$a-2$$:

$$x=\frac{1}{a+2}$$

Проверим особые значения параметра:

• при $$a=2$$ получаем $$4x-4x+2=2$$, то есть верное равенство при любом $$x$$;
• при $$a=-2$$ получаем $$4x-4x+2=-2$$, что невозможно.

Итак,

$$x=\frac{1}{a+2}, \quad a\neq \pm 2;$$

$$x\in \mathbb{R}, \quad a=2;$$

$$x\in \varnothing, \quad a=-2.$$

б) $$\frac{x}{a}+x-1=a$$

Область допустимых значений: $$a\neq 0$$.

Перенесём число $$1$$ вправо и вынесем $$x$$ за скобки:

$$\frac{x}{a}+x=a+1$$

$$x\left(\frac{1}{a}+1\right)=a+1$$

$$x\cdot \frac{a+1}{a}=a+1$$

Если $$a\neq -1$$, то сокращаем на $$a+1$$:

$$x=a$$

Проверим особые значения:

• при $$a=-1$$ получаем $$-x+x-1=-1$$, то есть верное равенство при любом $$x$$;
• при $$a=0$$ выражение $$\frac{x}{a}$$ не имеет смысла.

Следовательно,

$$x=a, \quad a\neq 0,\ a\neq -1;$$

$$x\in \mathbb{R}, \quad a=-1;$$

$$x\in \varnothing, \quad a=0.$$