Упр.60.2 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

При каких значениях параметра $$b$$ уравнение $$b^2x-x+2=b^2+b$$:

а) имеет ровно один корень;

б) не имеет корней;

в) имеет более одного корня?

Преобразуем уравнение:

$$b^2x-x+2=b^2+b$$

$$x(b^2-1)=b^2+b-2$$

$$x(b-1)(b+1)=(b-1)(b+2)$$

Рассмотрим возможные значения параметра.

1. Если $$b\neq \pm 1,$$ то можно разделить на $$b-1$$:

   $$x(b+1)=b+2,$$

   откуда

   $$x=\frac{b+2}{b+1}.$$

   При $$b\neq -1$$ это одно значение $$x$$, значит уравнение имеет ровно один корень.

2. Если $$b=-1,$$ то получаем

   $$0\cdot x=0,$$

   то есть уравнение верно при любом $$x.$$ Следовательно, корней бесконечно много.

3. Если $$b=1,$$ то получаем

   $$0\cdot x=2,$$

   что невозможно. Значит, корней нет.

Ответ: а) $$b\in(-\infty;-1)\cup(-1;1)\cup(1;+\infty);$$ б) $$b=-1;$$ в) $$b=1.$$