Упр.60.19 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. При каких значениях $$a$$: а) уравнение $$x^4-8x^2+4=a$$ не имеет корней; б) уравнение $$3x^4+4x^3-12x^2=a$$ имеет не менее трёх корней?

Рассмотрим функцию $$f(x)=x^4-8x^2+4.$$

Найдём её наименьшее значение. Положим $$t=x^2,\quad t\ge 0.$$ Тогда

$$f(x)=t^2-8t+4=(t-4)^2-12.$$

Так как $$t\ge 0,$$ то минимум достигается при $$t=4,$$ то есть при $$x=\pm 2,$$ и равен

$$f_{\min}=-12.$$

Следовательно, уравнение $$x^4-8x^2+4=a$$ не имеет корней тогда и только тогда, когда прямая $$y=a$$ лежит ниже графика функции, то есть

$$a<-12.$$

Теперь рассмотрим функцию $$g(x)=3x^4+4x^3-12x^2.$$

Найдём производную:

$$g'(x)=12x^3+12x^2-24x=12x(x^2+x-2)=12x(x+2)(x-1).$$

Критические точки: $$x=-2,\;0,\;1.$$

Исследуем знак производной:

• при $$x<-2$$ функция убывает;
• при $$-2<x<0$$ функция возрастает;
• при $$0<x<1$$ функция убывает;
• при $$x>1$$ функция возрастает.

Вычислим значения функции в точках экстремума:

$$g(-2)=3\cdot 16+4\cdot(-8)-12\cdot 4=-32,$$

$$g(0)=0,$$

$$g(1)=3+4-12=-5.$$

Чтобы уравнение $$3x^4+4x^3-12x^2=a$$ имело не менее трёх корней, прямая $$y=a$$ должна пересекать график функции не менее чем в трёх точках. Это происходит при

$$-5\le a\le 0.$$

Ответ

а) $$a<-12$$;

б) $$-5\le a\le 0$$.