Упр.60.18 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

При каких значениях $$a$$ имеет ровно три корня уравнение:

а) $$x(x+3)^2+a=0$$;

б) $$x^3-12x+1=a$$?

а) Рассмотрим функцию $$y=x(x+3)^2+a=x^3+6x^2+9x+a.$$

Чтобы уравнение имело ровно три корня, график кубической функции должен иметь максимум выше оси $$Ox$$, а минимум ниже оси $$Ox$$.

Найдём точки экстремума:

$$y’ = 3x^2+12x+9 = 3(x^2+4x+3)=3(x+3)(x+1).$$

Отсюда $$x=-3$$ — точка максимума, $$x=-1$$ — точка минимума.

Вычислим значения функции в этих точках:

$$y(-3) = (-3)\cdot 0^2 + a = a,$$

$$y(-1) = (-1)\cdot 2^2 + a = a-4.$$

Для трёх корней нужно:

$$y(-3)>0,\qquad y(-1)<0.$$

Получаем систему:

$$a>0,\qquad a-4<0.$$

Следовательно,

$$0<a<4.$$

б) Рассмотрим функцию $$y=x^3-12x+1.$$

Найдём точки экстремума:

$$y’ = 3x^2-12 = 3(x^2-4)=3(x-2)(x+2).$$

Значит, $$x=-2$$ — точка максимума, $$x=2$$ — точка минимума.

Вычислим значения функции:

$$y(-2)=(-2)^3-12(-2)+1=17,$$

$$y(2)=2^3-12\cdot 2+1=-15.$$

Чтобы уравнение $$x^3-12x+1=a$$ имело ровно три корня, нужно:

$$y(2)<a<y(-2).$$

То есть

$$-15<a<17.$$

Ответ: а) $$0<a<4$$; б) $$-15<a<17$$.