Упр.60.17 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. При каких значениях $$a$$:
   а) уравнение $$5^{2x}-3\cdot5^x+a-1=0$$ имеет единственный корень;
   б) уравнение $$0{,}01^x-2(a+1)\cdot0{,}1^x+4=0$$ не имеет действительных корней?

а) Сделаем замену $$t=5^x.$$ Тогда $$t>0$$ и уравнение принимает вид

$$t^2-3t+(a-1)=0.$$

Чтобы исходное уравнение имело единственный корень, квадратное уравнение по $$t$$ должно либо иметь один положительный корень, либо два корня разных знаков.

1) Если $$D=0$$, то

$$D=3^2-4(a-1)=9-4a+4=13-4a,$$

откуда

$$13-4a=0,\qquad a=\frac{13}{4}.$$

2) Если корни квадратного уравнения разных знаков, то их произведение отрицательно:

$$t_1t_2=a-1<0,$$

значит,

$$a<1.$$

Итак, уравнение имеет единственный корень при

$$a<1 \quad \text{или} \quad a=\frac{13}{4}.$$

б) Сделаем замену $$t=0{,}1^x.$$ Тогда $$t>0$$, а уравнение перепишется так:

$$t^2-2(a+1)t+4=0.$$

Чтобы исходное уравнение не имело действительных корней, достаточно, чтобы квадратное уравнение по $$t$$ не имело положительных корней. Это происходит, если:

• $$D<0$$;
• или $$D\ge 0$$, но оба корня неположительны.

Найдём дискриминант:

$$D=[-2(a+1)]^2-4\cdot 1\cdot 4=4(a+1)^2-16=4(a+3)(a-1).$$

Если $$D<0$$, то

$$4(a+3)(a-1)<0,$$

откуда

$$-3<a<1.$$

При $$D\ge 0$$ корни существуют, и чтобы они не были положительными, их сумма должна быть неположительной:

$$t_1+t_2=2(a+1)\le 0,$$

то есть

$$a\le -1.$$

Объединяя случаи, получаем:

$$a<1.$$

Ответ

а) $$a<1$$ или $$a=\frac{13}{4}$$; б) $$a<1$$.