Упр.60.16 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

При каких значениях параметра $$a$$ не имеет корней уравнение:

а) $$48 \cdot 4^x + 27 = a + a \cdot 4^{x+2}$$;

б) $$9^x + 2a \cdot 3^{x+1} + 9 = 0$$?

а) $$48\cdot 4^x+27=a+a\cdot 4^{x+2}$$

Преобразуем уравнение:

$$48\cdot 4^x+27=a+16a\cdot 4^x$$

$$4^x(48-16a)=a-27$$

$$16\cdot 4^x(3-a)=a-27$$

Так как $$4^x>0$$ при любых $$x$$, то уравнение не имеет корней, если правая часть не даёт положительного значения для $$4^x$$:

$$4^x=\frac{a-27}{16(3-a)}$$

Решений нет при

$$\frac{a-27}{3-a}\le 0.$$

Отсюда

$$a<3 \quad \text{или} \quad a\ge 27.$$

При $$a=3$$ получаем

$$0=-24,$$

что невозможно, значит корней тоже нет.

Итак,

$$a\in(-\infty;3]\cup[27;+\infty).$$

б) $$9^x+2a\cdot 3^{x+1}+9=0$$

Положим $$t=3^x$$, тогда $$t>0$$ и $$9^x=t^2$$, $$3^{x+1}=3t$$. Получаем:

$$t^2+6at+9=0.$$

Это квадратное уравнение относительно $$t$$. Чтобы оно не имело корней при $$t>0$$, рассмотрим дискриминант:

$$D=(6a)^2-4\cdot 1\cdot 9=36(a^2-1).$$

Если $$-1<a<1$$, то $$D<0$$, значит действительных корней нет.

Если $$a\le -1$$ или $$a\ge 1$$, то корни могут существовать, но нужно проверить их знак. Произведение корней равно

$$t_1t_2=9>0,$$

а сумма корней равна

$$t_1+t_2=-6a.$$

При $$a\le -1$$ сумма неотрицательна, значит оба корня положительны или один из них положителен, поэтому решение есть. При $$a\ge 1$$ сумма неположительна, и положительных корней нет.

Следовательно, уравнение не имеет корней при

$$a>-1.$$

Ответ: а) $$a\in(-\infty;3]\cup[27;+\infty)$$; б) $$a>-1$$.