Упр.60.15 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. При каких значениях $$a>0$$:
   а) уравнение $$\left(\log_{3}a\right)x^2-\left(2\log_{3}a-1\right)x+\log_{3}a-2=0$$ имеет единственный корень;
   б) уравнение $$\left(\log_{4}a\right)x^2+\left(2\log_{4}a+1\right)x+\log_{4}a+2=0$$ не имеет корней?

Пусть $$t=\log_3 a$$ в пункте а) и $$t=\log_4 a$$ в пункте б).

а)

Имеем уравнение

$$t x^2-(2t-1)x+t-2=0.$$

Чтобы уравнение имело единственный корень, нужно либо $$D=0$$, либо оно было линейным.

Найдём дискриминант:

$$D=(2t-1)^2-4t(t-2) =4t^2-4t+1-4t^2+8t =4t+1.$$

1) $$D=0$$:

$$4t+1=0,\quad t=-\frac14,$$

откуда

$$\log_3 a=-\frac14,\quad a=3^{-1/4}=\frac1{\sqrt[4]{3}}.$$

2) Уравнение становится линейным при $$t=0$$:

$$\log_3 a=0,\quad a=1.$$

Значит, в пункте а) получаем:

$$a=\frac1{\sqrt[4]{3}}$$ или $$a=1$$.

б)

Имеем уравнение

$$t x^2+(2t+1)x+t+2=0.$$

Оно не имеет корней, если $$D<0$$.

Найдём дискриминант:

$$D=(2t+1)^2-4t(t+2) =4t^2+4t+1-4t^2-8t =1-4t.$$

Тогда

$$1-4t<0,\quad t>\frac14.$$

Возвращаясь к переменной $$a$$, получаем

$$\log_4 a>\frac14,$$

откуда

$$a>4^{1/4}=\sqrt2.$$

Ответ: а) $$a=\frac1{\sqrt[4]{3}}$$ или $$a=1$$; б) $$a>\sqrt2$$.